$t$ 分布シミュレーション教材

標準正規分布の乱数から $t$ 統計量を作り，何度もサンプリングして得られるヒストグラムが，理論上の $t$ 分布へと近づいていく様子を体験できるシミュレーション教材である．

●目次

この教材の概要
使い方（操作手順）
画面の各部の説明
学ぶ内容
背後にある数式
やってみよう（観察課題）

1 この教材の概要

$t$ 分布（スチューデントの $t$ 分布）は，母分散が分からないときに，標本から母平均を推定・検定するために使われる，統計学でとても重要な分布である．この教材では $t$ 分布を「式として与えられたもの」ではなく，乱数から自分の手で作り出すことで理解する．

やることはシンプルである．標準正規分布に従う乱数をいくつか発生させ，それらを組み合わせて1個の $t$ 値を作る．これを何千回・何万回とくり返してヒストグラムにすると，その形が理論上の $t$ 分布の曲線にぴったり重なっていく．

●ねらい:「多数の乱数を集めると，決まった確率分布の形が現れる」という統計のいちばん大事な考え方を，目で見て確かめます．

「t分布のExcel教材」をWeb ページで再現している．

2 使い方（操作手順）

自由度 $n$ を決める
「自由度 $n =$ 」に 1～8 の整数を入れます（初期値は 4）． $n$ は $t$ 値をつくるときに使う正規乱数の個数で，分布の形を決める．
1回あたりの追加数を決める
「サンプリング回数」に，ボタン1回で追加する $t$ 値の個数を入れる（初期値は 1）．
サンプリングする
「サンプリング」ボタンを押すと，指定した個数だけ $t$ 値が発生し，ヒストグラムに積み上がる．まとめて増やしたいときは「＋100」「＋1000」も使える．
グラフの変化を観察する
サンプルが増えるほど，青いヒストグラムが赤い理論曲線（理論上の $t$ 分布）に近づく．左の表では「直近のサンプル」の計算過程を確認できる．
やり直す
「初期化」ボタンで累積サンプリング回数を 0 に戻し，ヒストグラムを消去する．自由度 $n$ を変えたときも自動でリセットされる．

3 画面の各部の説明

●操作パネル

項目	機能
自由度 $n =$	$t$ 値をつくるのに使う正規乱数の個数（1～8）． $t$ 分布の自由度そのもの．
サンプリング回数	ボタン1回で追加する $t$ 値の個数．
サンプリング	「サンプリング回数」で指定した個数の $t$ 値を発生させ，ヒストグラムに加える．
＋100 ，＋1000	一度に 100 個， 1000 個の $t$ 値をまとめて追加する．
初期化	累積回数を 0 に戻し，ヒストグラムを消去する．
累積サンプリング回数	これまでに発生させた $t$ 値の総数．多いほどヒストグラムは滑らかになる．

●「直近のサンプル」の表

いちばん最後に発生した1個の $t$ 値が，どう計算されたかを示す．

項目	意味
$p_{i}$	0～1 の一様乱数（`RAND` にあたる値）
$y_{i}$	p_i を正規分布の逆関数で変換した標準正規乱数
$y_{i}^{2}$	$y_{i}$ を2乗した値
$χ^{2}$	$y_{i}^{2}$ の合計（自由度 $n$ のカイ2乗値）
$x$	もう1つ独立に発生させた標準正規乱数
$t$	この行から計算される $t$ 値（下の数式を参照）

●グラフ

青い棒（ヒストグラム）… 発生した $t$ 値を階級幅 0.2 で数え，「相対度数 ÷ 階級幅」にした値．実験で得られた分布である．
赤い曲線… 自由度 $n$ の理論上の $t$ 分布の確率密度関数．目標となる形である．

4 学ぶ内容

この教材を触ると，次のことが体験的に理解できる．

$t$ 分布の成り立ち

$t$ 分布は，標準正規分布とカイ2乗分布という2つの分布を組み合わせて定義されることが分かる．

自由度の意味

自由度 $n$ を変えると分布の形（とがり方，すそ野の広さ）が変わることを，自分で確かめられる．

大数の法則的な収束

サンプルを増やすほどヒストグラムが理論曲線に近づく＝多数回試行で分布が安定する様子が見える．

乱数と確率分布

一様乱数 → 正規乱数 → $t$ 値，という変換の流れを通して，乱数から目的の分布を作る方法を学ぶ．

正規分布との違い

$t$ 分布は正規分布よりすそ野が重く，自由度が大きくなると正規分布に近づくことに気づける．

ヒストグラムと密度

「相対度数 ÷ 階級幅」にすると，棒グラフと確率密度曲線を同じ土俵で比べられることを学ぶ．

5 背後にある数式

● $t$ 値の作り方

まず自由度 $n$ と同じ個数の標準正規乱数 $y_{1}, \dots, y_{n}$ を発生させ，その2乗和をとる．これは自由度 $n$ のカイ2乗分布に従う量である．

χ^{2} = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \dots + y_{n}^{2}

さらにもう1つ独立な標準正規乱数 $x$ を発生させ，次の量を計算する．これが自由度 $n$ の $t$ 分布に従う．

t = \frac{x}{\sqrt{\frac{χ^{2}}{n}}}

つまり $t$ 分布とは「標準正規変数 ÷ √(カイ2乗変数 ÷ 自由度)」として定義される分布である．一様乱数から標準正規乱数への変換には，正規分布の逆関数 NORM.INV(p, 0, 1) を使っている．

●理論上の確率密度関数（赤い曲線）

自由度 $n$ の $t$ 分布の確率密度関数は次の式で表される（Γ はガンマ関数）．

$f (x) = \frac{Γ (\frac{n + 1}{2})}{\sqrt{n π} Γ (\frac{n}{2})} {(1 + \frac{x^{2}}{n})}^{- \frac{n + 1}{2}}$

なぜヒストグラムと重なるの？

青いヒストグラムは「相対度数 ÷ 階級幅」にしてあるため，全体の面積が 1 になり，確率密度と同じ尺度になる．だからサンプルが多いほど，実験のヒストグラムと理論の密度曲線が一致していく．

6 やってみよう（観察課題）

収束を見る：自由度 $n = 4$ のまま＋1000を何度も押し，累積回数が増えるほど棒が曲線にそろっていくことを確かめよう．
自由度で形が変わる： $n = 1$ と $n = 8$ でそれぞれ多数サンプリングし， $n$ が小さいほどすそ野が広く（外れ値が出やすく）なることを比べよう．
正規分布に近づく： $n$ を大きくすると，山が高く・すそ野が狭くなり，正規分布に近い形になることを観察しよう．
少数だとバラつく：「サンプリング回数 = 1」で少しだけ発生させると，棒がガタガタで曲線から外れることを確認しましょう．試行回数の大切さが分かる．
計算過程を追う：左の表で $y_{i}$ ， $χ^{2}$ ， $x$ ， $t$ の関係を1行ずつ読み，式のとおりに計算されていることを確かめよう．

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最終更新日：2026年9月13日

t 分布 シミュレーション教材

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