正規分布(normal distribution)

確率密度関数（確率分布）が

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}}$　･･････(1)

となるものを正規分布とい，確率変数 ${\displaystyle X}$は正規分布 ${\displaystyle N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)}$に従うという．

$\mu$ は平均で

${\displaystyle \mu =E\left[X\right]={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }xf\left(x\right)dx}}$${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}dx}}$

$\sigma$ は標準偏差で，分散 ${\sigma }^2$ の平方根である．${\sigma }^2$ は

${\displaystyle {\sigma }^2=V\left[X\right]}$${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(x-\mu \right)}^{2}f\left(x\right)dx}}$${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(x-\mu \right)}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}dx}}$

である．

正規分布の累積分布関数は

${\displaystyle F\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)dt}}$${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{t-\mu }{\sigma }\right)}^2}dt}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+\text{erf}\frac{x-\mu }{\sqrt{2{\sigma }^2}}\right)}$　･･････(2)

（ただし，${\displaystyle \text{erf}\left(x\right)}$ は誤差関数で，${\displaystyle \text{erf}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^x{e}^{-t^2}dt}}$ である）

である．

■標準正規分布

確率変数${\displaystyle X}$を

${\displaystyle Y=\frac{X-\mu }{\sigma }}$

により標準化することによって得られる確率密度関数

${\displaystyle g\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{y}^2}}$　･･････(3)

を標準正規分布といい，確率変数 ${\displaystyle Y}$は正規分布 ${\displaystyle N\left(0,1\right)}$ に従うという．

${\displaystyle E\left[Y\right]=0}$ ，${\displaystyle V\left[Y\right]=1}$

標準正規分布の累積分布関数は

${\displaystyle G\left(y\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{y}f\left(t\right)dt}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^y\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}dt}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+\text{erf}\frac{y}{\sqrt{2}}\right)}$　･･････(4)

である．

(1)を標準化することで(3)を導いてみる．(1)は確率密度関数なので

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}dx}=1}$　･･････(3)

となっている．(3)の左辺の積分を${\displaystyle y=\frac{x-\mu }{\sigma }}$ とおいて置換積分をしてみる．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sigma }\to dx=\sigma dy}$

$x:-\infty \to \infty$ のとき$y:-\infty \to \infty$

より

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{y}^2}\sigma dy}}$${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{y}^2}dy}}$

となる．積分変数を置換しても定積分の値はかわらないので

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{y}^2}dy}=1}$　･･････(4)

の関係が得られる．(4)は確率密度関数が満たす式であるので，左辺の積分の被積分関数は確率密度関数であり，(2)が得られる．

■参考

のように，二項分布から正規分布の確率密導関数は導かれている．

■二項分布と正規分布の関係

画像をクリックするとインターラクティブはグラフのページにジャンプする．

■正規分布の性質

$X$ ， $Y$ が互いに独立な確率変数で，それぞれ正規分布

${\displaystyle N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)}$

に従うときは， ${\displaystyle X+Y}$ は正規分布

${\displaystyle N\left({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2\right)}$

に従う．

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最終更新日： 2024年2月16日