置換積分法

置換積分法

x = g ( t ) の関係に置換したとき

不定積分

f ( x ) d x = f ( x ) d x d t d t = f ( g ( t ) ) g ( t ) d t

定積分

a b f ( x ) d x = α β f ( x ) d x d t d t = α β f ( g ( t ) ) g ( t ) d t

(ただし, g ( α ) = a g ( β ) = b

となる.

■置換方法の例

 ここを参照のこと.

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■解説

置換積分の公式は合成関数の微分の公式に対応するものである.

関数 f ( x ) 原始関数の1つを F ( x ) とすると

F ( x ) = f ( x )   ・・・・・・(1)

f ( x ) d x = F ( x ) + C  ( C :積分定数)  ・・・・・・(2)

の関係がある.

また, x = g ( t ) の関係があると, 関数 F ( x )

F ( x ) = F ( g ( t ) )   ・・・・・・(3)

となる. F ( g ( t ) ) を変数 t で微分すると,合成関数の微分より

{ F ( g ( t ) ) } = F ( g ( t ) ) g ( t )   ・・・・・・(4)

両辺を変数 t 積分すると

{ F ( g ( t ) ) } d t + C = F ( g ( t ) ) g ( t ) d t     (積分定数 C を左辺にまとめて入れている)

F ( g ( t ) ) + C = F ( g ( t ) ) g ( t ) d t   ・・・・・・(5)

g ( t ) = x を(5)の左辺に適用すると

F ( x ) + C = F ( g ( t ) ) g ( t ) d t   ・・・・・・(6)

(1),(2)を(6)に適用すると,

f ( x ) d x = f ( g ( t ) ) g ( t ) d t

となり,置換積分の公式が得られる.

あるいは, x t の関数であると考えると

d x = d x d t d t

であるので,簡単に置換積分の公式が得られる.微分形式を参照のこと.

定積分において,積分範囲は x a b に変化するとき, t α β に変化するので,積分範囲を変更する必要がある.

 

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最終更新日: 2025年4月25日