合成関数の導関数

${\displaystyle y=f\left(u\right)}$ ， ${\displaystyle u=g\left(x\right)}$  のとき，後の式を前の式に代入すると， ${\displaystyle y=f\left(g\left(x\right)\right)}$  となる．これを， ${\displaystyle y=f\left(u\right)}$ ， ${\displaystyle u=g\left(x\right)}$  の合成関数という．${\displaystyle y=f\left(u\right)}$ が$u$について，${\displaystyle u=g\left(x\right)}$ が$x$ においてそれぞれ微分可能であるとき， 合成関数の導関数は$x$ について微分可能で

${\displaystyle \frac{dy}{dx}{\displaystyle =\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}}$

あるいは

${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$

(  ${\displaystyle g\left(x\right)=u}$   を代入すると ${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\left\{f\left(u\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(u\right)·g^{\prime }\left(x\right)}}}$   )

となる．

→合成関数を微分する手順

■導出

合成関数を導関数の定義にしたがって微分する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(g\left(x+h\right)\right)-f\left(g\left(x\right)\right)}{h}}$  ･･････(1)

${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\left\{\frac{f\left(g\left(x+h\right)\right)-f\left(g\left(x\right)\right)}{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}\right.}$ ${\displaystyle \left.·\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}\right\}}$

ここで

${\displaystyle g\left(x+h\right)-g\left(x\right)=j}$  ･･････(2)

とおくと

${\displaystyle g\left(x+h\right)=g\left(x\right)+j=u+j}$  ･･････(3)

となる．よって

${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\left\{\frac{f\left(u+j\right)-f\left(u\right)}{j}\right.}$ ${\displaystyle \left.·\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}\right\}}$  ･･････(4)

${\displaystyle h\to 0}$ ならば， ${\displaystyle j\to 0}$  となる．

よって

${\displaystyle =\underset{j\to 0}{lim}\left\{\frac{f\left(u+j\right)-f\left(u\right)}{j}\right\}}$ ${\displaystyle ·\underset{h\to 0}{lim}\left\{\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}\right\}}$

${\displaystyle =f^{\prime }\left(u\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$   導関数を参照

${\displaystyle =\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

合成関数の導関数を以下のように表す場合もある．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}={\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }}$ ， ${\displaystyle \frac{dy}{du}={\left\{f\left(u\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(u\right)=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)}$ ， ${\displaystyle \frac{du}{dx}={\left\{g\left(x\right)\right\}}^{\prime }=g^{\prime }\left(x\right)}$ であるので，  

${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$  

となる．

●グラフを用いた合成関数の導関数の説明

${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}=\frac{du}{dx}}$

${\displaystyle \underset{\Delta u\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta u}=\frac{dy}{du}}$

である．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x})}$

${\displaystyle =\left(\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta u}\right)\left(\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}\right)}$

${\displaystyle \Delta x\to 0}$ のとき ${\displaystyle \Delta u\to 0}$ である．よって

${\displaystyle =\left(\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta u}\right)\left(\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}\right)}$

${\displaystyle =\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

 

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最終更新日： 2026年9月25日