置換積分法の例

■代表的な置換

$a > 0$ とする．

$\int \sqrt{a^{2} + x^{2}} d x$ $\Rightarrow$ $x = a \tan θ$ 　 $(- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2})$ ⇒ここを参照
$\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$ $\Rightarrow$ $x = a sin θ$ $(- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2})$ ，または $x = a cos θ$ $(0 ≦ θ ≦ π)$ ⇒ ここを参照
$\int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ $\Rightarrow$ $x = \frac{a}{\cos θ}$ 　 $(0 < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < π)$ ⇒ ここを参照
$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} d x$ $\Rightarrow {\begin{array}{l} x + \sqrt{x^{2} + a^{2}} = t \\ x = a tan θ (- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}) \end{array}$ 　⇒ここを参照
$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x$ $\Rightarrow {\begin{array}{l} x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} = t \\ x = \frac{a}{cos θ} (0 < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < π) \end{array}$ 　⇒ここを参照
$\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x$ $\Rightarrow x = a \tan θ (- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2})$ ⇒ここを参照

$\int f (sin x) cos x d x$ の場合， $sin x = t$ とおく． $cos x d x = d t$ ⇒ここを参照
$\int f (cos x) sin x d x$ の場合， $cos x = t$ とおく． $cos x d x = - d t$ ⇒ここを参照
$\int f (tan x) \cdot \frac{1}{{cos}^{2} x} d x$ の場合， $tan x = t$ とおく． $\frac{d t}{d x} = \frac{1}{{cos}^{2} x} \to \frac{1}{{cos}^{2} x} d x = d t$ ⇒ここを参照
$\int f (sin x, cos x) d x$ の場合， $tan \frac{x}{2} = t$ とおく．
$sin x = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$ ， $cos x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}$ ， $d x = \frac{2}{1 + t^{2}} d t$ ⇒ここを参照

最終更新日： 2025年10月6日