被積分関数が f( sinx,cosx ) と表されるとき, tan x 2 =t とおく置換積分を行う.
sin x = 2 t 1 + t 2 , cos x = 1 − t 2 1 + t 2 , d x = 2 1 + t 2 d t
より
∫ f ( sin x , cos x ) d x = ∫ f ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) ⋅ 2 1 + t 2 d t
となる.
2倍角の公式と, tan x 2 =t より
tanx= 2tan x 2 1− tan 2 x 2 = 2t 1− t 2
三角関数の相互関係の公式より
tan 2 x 2 +1= 1 cos 2 x 2
よって
cos 2 x 2 = 1 tan 2 x 2 +1 = 1 1+ t 2
半角の公式より
cos 2 x 2 = 1+cosx 2
したがって
cos x = 2 cos 2 x 2 − 1
= 2 1 + t 2 − 1
= 1 − t 2 1 + t 2
三角関数の相互関係の公式 tanx= sinx cosx より
sin x = tan x cos x
= 2 t 1 − t 2 ⋅ 1 − t 2 1 + t 2
= 2 t 1 + t 2
t=tan x 2 = sin x 2 cos x 2 なので
d t d x = ( sin x 2 ) ′ cos x 2 − sin x 2 ( cos x 2 ) ′ ( cos x 2 ) 2
= 1 2 cos x 2 cos x 2 − sin x 2 ( − 1 2 sin x 2 ) ( cos x 2 ) 2
= 1 2 ⋅ 1 cos 2 x 2
= 1 2 ⋅ 1 1 1 + t 2
= 1 + t 2 2
dx= 2 1+ t 2 dt
以下に tan x 2 =t で置換して解く例題をいくつか示す.
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最終更新日: 2024年3月3日