不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{{\tan }^{2}2x}dx}}$ 　　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}\cot 2x-x+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

被積分関数 ${\displaystyle \frac{1}{{\tan }^{2}2x}}$ を式変形し，積分できる形にする．

以下の関係も利用する．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{{\tan }^{2}2x}dx}={\displaystyle \int \frac{{\cos }^{2}2x}{{\sin }^{2}2x}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1-{\sin }^{2}2x}{{\sin }^{2}2x}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\frac{1}{{\sin }^{2}2x}-1\right)dx}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cot 2x-x+C}$　･･････(3)

■別解

${\displaystyle \tan x=t}$ とおく置換積分法で解く．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x=1+t^2}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{1}{1+t^2}dt}$　･･････(4)

${\displaystyle \tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}}$ ${\displaystyle =\frac{2\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{\sin x\cos x}}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{\frac{1}{\tan x}-\tan x}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{\frac{1}{t}-t}}$ ${\displaystyle =\frac{2t}{1-t^2}}$　･･････(5)

(4)，(5)より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{{\tan }^{2}2x}dx}}$${\displaystyle ={\displaystyle \int {\left(\frac{1-t^2}{2t}\right)}^2\frac{1}{1+t^2}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{\displaystyle \int \frac{{\left(1-t^2\right)}^2}{t^2\left(1+t^2\right)}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{\displaystyle \int \frac{t^4-2t^2+1}{t^4+t}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{\displaystyle \int \frac{t^4+t^2-3t^2+1}{t^4+t}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{\displaystyle \int \left(1-\frac{3t^2-1}{t^4+t}\right)dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{\displaystyle \int \left(1+\frac{1}{t^2}-\frac{4}{t^2+1}\right)dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(t-\frac{1}{t}-4{\tan }^{-1}t\right)+C}$

変数を $x$ から $t$ に戻す．

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(-\frac{1-t^2}{t}-4{\tan }^{-1}t\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{\tan 2x}-4{\tan }^{-1}\left(\tan x\right)\right)+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cot 2x-x+C}$

　

■確認問題

求まった答え${\displaystyle -\frac{1}{2}\cot 2x-x+C}$を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{1}{{tan}^{2}2x}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年7月24日