部分分数に分解する手順

■部分分数分解の主なタイプ

●タイプ1

${\displaystyle \frac{cx+d}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}}$　⇒ ${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$を求める方法

●タイプ2

${\displaystyle \frac{bx+c}{{\left(x+a\right)}^2}=\frac{A}{{\left(x+a\right)}^2}+\frac{B}{x+a}}$　⇒ ${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$を求める方法

●タイプ3

${\displaystyle \frac{c{x}^2+dx+e}{{\left(x+a\right)}^2\left(x+b\right)}}$${\displaystyle =\frac{A}{{\left(x+a\right)}^2}+\frac{B}{x+a}+\frac{C}{x+b}}$　⇒ ${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$，${\displaystyle C}$を求める方法

●タイプ4

${\displaystyle \frac{d{x}^2+ex+f}{\left(x+a\right)\left(x^2+bx+c\right)}}$${\displaystyle =\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}}$　⇒ ${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$，${\displaystyle C}$を求める方法

■タイプ1

${\displaystyle \frac{cx+d}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}}$

の形に部分分数に分解する．（部分分数分解の一意性(1)を参照）

${\displaystyle \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}}$${\displaystyle =\frac{A\left(x+b\right)+B\left(x+a\right)}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}}$

${\displaystyle =\frac{\left(A+B\right)x+Ab+Ba}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}}$

より

${\displaystyle \{\begin{array}{l}A+B=c\\ Ab+Ba=d\end{array}}$

の関係がある．

${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$ はこの連立方程式を解くことによって求まる．    ⇒ ${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$を求める他の方法

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■タイプ2

${\displaystyle \frac{bx+c}{{\left(x+a\right)}^2}=\frac{A}{{\left(x+a\right)}^2}+\frac{B}{x+a}}$

の形に部分分数に分解する．（部分分数分解の一意性(2)を参照）

${\displaystyle \frac{A}{{\left(x+a\right)}^2}+\frac{B}{x+a}}$${\displaystyle =\frac{A+B\left(x+a\right)}{{\left(x+a\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{Bx+A+Ba}{{\left(x+a\right)}^2}}$

より

${\displaystyle \{\begin{array}{l}B=b\\ A+Ba=c\end{array}}$

の関係がある．

${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$はこの連立方程式を解くことによって求まる．    ⇒ ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle B}$ を求める他の方法

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■タイプ3

タイプ1とタイプ2の複合タイプ

${\displaystyle \frac{c{x}^2+dx+e}{{\left(x+a\right)}^2\left(x+b\right)}}$${\displaystyle =\frac{A}{{\left(x+a\right)}^2}+\frac{B}{x+a}+\frac{C}{x+b}}$

の形に部分分数に分解する．

${\displaystyle \frac{A}{{\left(x+a\right)}^2}+\frac{B}{x+a}+\frac{C}{x+b}}$

より

${\displaystyle \{\begin{array}{l}B+C=c\\ A+2B\left(a+b\right)+2Ca=d\\ Ab+Bab+C{a}^2=e\end{array}}$

${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$ ，${\displaystyle C}$はこの連立方程式を解くことによって求まる．    ⇒ ${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$ ，${\displaystyle C}$ を求める他の方法

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■タイプ4

${\displaystyle \frac{d{x}^2+ex+f}{\left(x+a\right)\left(x^2+bx+c\right)}}$${\displaystyle =\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}}$

の形に部分分数に分解する．（部分分数分解の一意性(1)を参照）

${\displaystyle \frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}}$

より

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}A+B=d\\ Ab+Ba+C=e\\ Ac+Ca=f\end{array}\right.}$

${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$ ，${\displaystyle C}$はこの連立方程式を解くことによって求まる．

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■参考

次に示す分数関数を部分分数に分解する手順を示す．

${\displaystyle \frac{1}{a{x}^2+bx+c}}$　･･････(1)

${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0}$  の解を${\displaystyle \alpha }$ ， ${\displaystyle \beta }$ とする（実数解があることを前提としている）．すると(1)は

${\displaystyle \frac{1}{a{x}^2+bx+c}=\frac{1}{a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)}}$　･･････(2)

となる（解と係数の関係を参照）

部分分数に分解するために，(2)を基にして定数${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle B}$ を用い(3)のような式を考える．

${\displaystyle \frac{1}{a}\left(\frac{A}{x-\alpha }+\frac{B}{x-\beta }\right)}$　･･････(3)

(3)を通分すると，

${\displaystyle \frac{1}{a}\left(\frac{A}{x-\alpha }+\frac{B}{x-\beta }\right)}$${\displaystyle =\frac{A(x-\beta )+B(x-\alpha )}{a(x-\alpha )(x-\beta )}}$${\displaystyle =\frac{(A+B)x-(B\alpha +A\beta )}{a(x-\alpha )(x-\beta )}}$　･･････(4)

となる．(2)と(4)が等しくなるためには，

${\displaystyle \{\begin{array}{l}A+B=0\\ -\left(B\alpha +A\beta \right)=1\end{array}}$

の関係が成り立てばよい．これより

${\displaystyle B=-A}$

${\displaystyle -\left(-A\alpha +A\beta \right)=1}$

${\displaystyle A\left(\alpha -\beta \right)=1}$

${\displaystyle A=\frac{1}{\alpha -\beta }}$

${\displaystyle B=-\frac{1}{\alpha -\beta }}$

以上より(1)を部分分数に分解すると

${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{a{x}^2+bx+c}}}$${\displaystyle =\frac{1}{a\left(\alpha -\beta \right)}\left(\frac{1}{x-\alpha }-\frac{1}{x-\beta }\right)}$

となる．

 

●例1

${\displaystyle \frac{3}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}}$ を部分分数に分解する．

${\displaystyle \frac{3}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}}$

とおく．

${\displaystyle \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}}$${\displaystyle =\frac{A\left(x+2\right)+B\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}}$

${\displaystyle =\frac{\left(A+B\right)x+2A-B}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}}$

よって

${\displaystyle \{\begin{array}{l}A+B=0\\ 2A-B=3\end{array}}$

の関係が成り立てばよい．

${\displaystyle B=-A}$

${\displaystyle 2A-\left(-A\right)=3}$

${\displaystyle 3A=3}$

${\displaystyle A=1}$

${\displaystyle B=-1}$

以上より

${\displaystyle \frac{3}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2}}$

 

●例2

${\displaystyle \frac{3x-3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}}$ を部分分数に分解する．

${\displaystyle \frac{3x-3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}}$

とおく．

${\displaystyle \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}}$${\displaystyle =\frac{A\left(x-2\right)+B\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}}$

${\displaystyle =\frac{\left(A+B\right)x-2A+B}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}}$

よって

${\displaystyle \{\begin{array}{l}A+B=3\\ -2A+B=-3\end{array}}$

の関係が成り立てばよい．

${\displaystyle B=3-A}$

${\displaystyle -2A+\left(3-A\right)=-3}$

${\displaystyle -3A=-6}$

${\displaystyle A=2}$

${\displaystyle B=1}$

以上より

${\displaystyle \frac{3x-3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}}$

 

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最終更新日： 2025年1月6日