解と係数の関係

解と係数の関係

2次方程式a x 2 +bx+c=0 の解をαβとすると,解と係数の間には次の関係がある.

α+β= b a  ,  αβ= c a

この関係を解と係数の関係という. このページも参考にしてください.

■解と係数の関係の導出

2方程式

a x 2 + b x + c = 0 ・・・・・・(1)

の解を α , β とすると,因数定理 x 2 の係数が a  より(1)は

a ( x - α ) ( x - β ) = 0 ・・・・・・(2) 

と書きかえることができる.(2)を展開すると

a xα xβ

=a x 2 a α+β x+aαβ ・・・・・・(3)

となる.(1)と(3)の係数を比較すると

α+β= b a

αβ= c a

となり,解と係数の関係が得られる.

あるいは,以下の方法でも確認できる.

αβ解の公式より

b+ b 2 4ac 2a   ,  b b 2 4ac 2a

となる. α+β αβ を計算すると

α + β = b + b 2 4 a c 2 a + b b 2 4 a c 2 a = 2 b 2 a = b a

αβ = b+ b 2 4ac 2a b b 2 4ac 2a

= b 2 b 2 4ac 2 4 a 2

= b 2 b 2 4ac 4 a 2

= 4ac 4 a 2

= c a

解と係数の関係が成り立っていることがわかる.

 

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最終更新日: 2023年7月27日