解と係数の関係

2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の解を $α$ ， $β$ とすると，解と係数の間には次の関係がある．

$α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}$

この関係を解と係数の関係という．このページも参考にしてください．

■解と係数の関係の導出

2方程式

$a x^{2} + b x + c = 0$ ･･････(1)

の解を $α, β$ とすると，因数定理と $x^{2}$ の係数が $a$ より(1)は

$a (x - α) (x - β) = 0$ ･･････(2)

と書きかえることができる．(2)を展開すると

$a (x - α) (x - β)$

$= a x^{2} - a (α + β) x + a α β$ ･･････(3)

となる．(1)と(3)の係数を比較すると

$α + β = - \frac{b}{a}$

$α β = \frac{c}{a}$

となり，解と係数の関係が得られる．

あるいは，以下の方法でも確認できる．

$α$ と $β$ は解の公式より

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}, \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

となる． $α + β$ ， $α β$ を計算すると

$α + β = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ $= \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a}$

$α β = (\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) (\frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a})$

$= \frac{{(- b)}^{2} - {(\sqrt{b^{2} - 4 a c})}^{2}}{4 a^{2}}$

$= \frac{{(- b)}^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}}$

$= \frac{4 a c}{4 a^{2}}$

$= \frac{c}{a}$

解と係数の関係が成り立っていることがわかる．

最終更新日： 2023年7月27日