因数定理

整式 ${\displaystyle F(x)}$ が ${\displaystyle x-\alpha }$ で割りきれるとすると

${\displaystyle F(\alpha )=0}$

となる．

■解説

因数定理は，剰余定理の余り ${\displaystyle r=0}$ の場合である． 因数分解をするとき，この因数定理を利用すると因数を見つけやすくなる．特に，整式が3次以上の場合に有効である．

${\displaystyle F\left(\alpha \right)=0}$  ならば， ${\displaystyle \left(x-\alpha \right)}$  が因数となり

${\displaystyle F\left(x\right)=\left(x-\alpha \right)G\left(x\right)}$

と表される．　

${\displaystyle F\left(x\right)}$  に定数項がある場合， ${\displaystyle \alpha }$ は定数項の約数（因数）である．定数項がない場合は最低次数の項の係数の約数（因数）である．

■事例

因数定理を利用して

${\displaystyle 6x^3+35x^2+19x-30}$

を因数分解する．

定数項$30$の約数は

$1$ ， $2$ ， $3$ ， $55$ ， $6$ ， $15$ ， $30$ ， $-1$ ， $-2$ ， $-3$ ， $-5$ ， $-6$ ， $-15$ ， $-30$

である．

計算が容易になる絶対値の小さい約数から${\displaystyle F\left(\alpha \right)}$ の値を計算する．

${\displaystyle F\left(1\right)=6\cdot 1^3+35\cdot 1^2+19\cdot 1-30}$

${\displaystyle =6\cdot 1+35\cdot 1+19\cdot 1-30}$

${\displaystyle =6+35+19-30}$

${\displaystyle =30}$

${\displaystyle F\left(x\right)}$の特徴より，${\displaystyle F\left(1\right)}$ で既に正の値であるので，1より大きい数$\alpha$ で${\displaystyle F\left(\alpha \right)=0}$になることはない．よって，次からは負の約数について調べる．

${\displaystyle F\left(-1\right)=6\cdot {\left(-1\right)}^3+35\cdot {\left(-1\right)}^2+19\cdot \left(-1\right)-30}$

${\displaystyle =6\cdot \left(-1\right)+35\cdot 1+19\cdot \left(-1\right)-30}$

${\displaystyle =-6+35-19-30}$

${\displaystyle =-20}$

${\displaystyle F\left(-2\right)=6\cdot {\left(-2\right)}^3+35\cdot {\left(-2\right)}^2+19\cdot \left(-2\right)-30}$

${\displaystyle =6\cdot \left(-8\right)+35\cdot 4+19\cdot \left(-2\right)-30}$

${\displaystyle =-48+140-38-30}$

${\displaystyle =24}$

${\displaystyle F\left(-3\right)=6\cdot {\left(-3\right)}^3+35\cdot {\left(-3\right)}^2+19\cdot \left(-3\right)-30}$

${\displaystyle =6\cdot \left(-27\right)+35\cdot 9+19\cdot \left(-3\right)-30}$

${\displaystyle =-162+315-57-30}$

${\displaystyle =66}$

${\displaystyle F\left(-5\right)=6\cdot {\left(-5\right)}^3+35\cdot {\left(-5\right)}^2+19\cdot \left(-5\right)-30}$

${\displaystyle =6\cdot \left(-125\right)+35\cdot 25+19\cdot \left(-5\right)-30}$

${\displaystyle =-750+875-95-30}$

${\displaystyle =0}$

よって，${\displaystyle 6x^3+35x^2+19x-30}$ は${\displaystyle x+5}$ を因数に持つ．

${\displaystyle \begin{array}{rr}\hfill & 6x^2+5x-6\hfill \\ \hfill x+5& \hfill \overline{)6x^3+35x^2+19x-30}\\ \hfill & 6x^3+30x^2\hfill \\ \hfill & \overline{5x^2+19x-30}\hfill \\ \hfill & 5x^2+25x\hfill \\ \hfill & \overline{-6x-30}\hfill \\ \hfill & \hfill -6x-30\\ \hfill & \overline{0}\hfill \end{array}}$

これより

${\displaystyle 6x^3+35x^2+19x-30}$

${\displaystyle =\left(x+5\right)\left(6x^2+5x-6\right)}$

たすきがけ手法による因数分解をして

${\displaystyle =\left(x+5\right)\left(2x+3\right)\left(3x-2\right)}$

　

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最終更新日： 2025年12月19日