剰余定理

整式 ${\displaystyle F(x)}$を ${\displaystyle x-\alpha }$ で割ったときの余りを${\displaystyle r}$とすると

${\displaystyle F(\alpha )=r}$

となる．余りは除数よりも次数が低くなるので，${\displaystyle r}$ は${\displaystyle x}$ を含まない．

言い換えると，整式$F(x)$を$x-a$で割ったときの余りは$F(a)$と等しくなる．

■解説

整式${\displaystyle F(x)}$を ${\displaystyle x-\alpha }$ で割ったときの商を${\displaystyle Q(x)}$，余りを${\displaystyle r}$ とすると

$F(x)=\left(x-\alpha \right)Q(x)+r$

と表すことができる．この整式${\displaystyle F(x)}$の${\displaystyle x}$ に${\displaystyle \alpha }$ を代入すると，

${\displaystyle F(\alpha )=\left(\alpha -\alpha \right)Q(\alpha )+r=r}$

となり，剰余定理が導かれる．

具体的な例で確かめて見よう．

$F(x)=2x^2-3x+1$ を$x-2$で割ったときの商と余りを求めてみる．

${\displaystyle \begin{array}{l}2x+1\\ x-2)\overline{2x^2-3x+1}\\ 2x^2-4x\\ \overline{x+1}\\ x-2\\ \overline{3}\end{array}}$  

$2x^2-3x+1=\left(x-2\right)\left(2x+1\right)+3$ 　

商：$Q(x)=2x+1$，余り：$r=3$　となりました．

一方， 　

$F(2)=2·2^2-3·2+1=3$ 　

となり，剰余の定理通りになっていることが確かめられました．　

　

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最終更新日： 2023年7月14日