不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \tan xdx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle -\log \left|\cos x\right|+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}=\log \left|x\right|+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \tan xdx}}$

${\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}$ の関係を利用し， ${\displaystyle \cos x=t}$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x}$ →　 ${\displaystyle \sin xdx=-dt}$

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos x}dx}}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{t}\left(-1\right)dt}$

（ ${\displaystyle \cos x=t}$ ， ${\displaystyle \sin xdx=-dt}$ を与式に代入した）

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$

${\displaystyle =-\log \left|t\right|+C}$

（(1)より）

${\displaystyle =-\log \left|\cos x\right|+C}$ （ $C$ は積分定数）

( ${\displaystyle t=\cos x}$ より変数を $t$ から $x$ 元に戻した)

●別解

${\displaystyle \tan x=t}$とおく．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$${\displaystyle =1+{\tan }^{2}x}$${\displaystyle =1+t^2}$ ${\displaystyle \to dx=\frac{1}{1+t^2}dt}$ （参考： ${\displaystyle 1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$ ）

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int t\cdot \frac{1}{1+t^2}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \cdot \frac{2t}{1+t^2}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|1+t^2\right|+C}$

（${\displaystyle \int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=log\left|f\left(x\right)\right|+C}$ の公式を利用した）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|1+{\tan }^{2}x\right|+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right|+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log {\left|\cos x\right|}^{-2}+C}$

（ ${log}_a{R}^t=t{log}_{a}R$ の公式を利用した）

${\displaystyle =-\log \left|\cos x\right|+C}$

　

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最終更新日： 2025年9月15日