不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \tan xdx}}$

■答

${\displaystyle -\log \left|\cos x\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}=\log \left|x\right|+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \tan xdx}}$

${\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}$ の関係を利用し，${\displaystyle \cos x=t}$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x}$　→　${\displaystyle \sin xdx=-dt}$

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos x}dx}}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{t}\left(-1\right)dt}$

（${\displaystyle \cos x=t}$，${\displaystyle \sin xdx=-dt}$ を与式に代入した）

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$

${\displaystyle =-\log \left|t\right|+C}$

（(1)より）

${\displaystyle =-\log \left|\cos x\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

(${\displaystyle t=\cos x}$ より変数を$t$から$x$元に戻した)

　

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最終更新日： 2023年11月24日