tan(x/2)=t とおく置換積分の問題(3)

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \frac{1}{sinx+cosx+1}dx}$ 　を ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ 　と置換して解きなさい．

■答

${\displaystyle log\left|tan\frac{x}{2}+1\right|+C}$     （$C$ は積分定数）

■ヒント

手順1：
　半角の公式または2倍角の公式を用いて${\displaystyle sinx}$と${\displaystyle cosx}$を変数${\displaystyle t}$を用いて表す．

手順2：
　${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$を微分し，${\displaystyle dx}$と${\displaystyle dt}$の関係式を求める．

手順3：
　求めた2つの式を用いて置換積分する．（変数 ${\displaystyle x}$ を変数${\displaystyle t}$ に変換する）

■解説

・まず，${\displaystyle sinx}$を変数${\displaystyle t}$を用いて表す．⇒導出はここを参照

${\displaystyle sinx=\frac{2t}{1+t^2}}$ 　･･････(1)　

・${\displaystyle cosx}$の式も同様に${\displaystyle t}$の式に変換する．⇒導出はここを参照

${\displaystyle cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}}$　･･････(2)

・次に ${\displaystyle tanx=\frac{2t}{1-t^2}}$ を導き${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$を導出する．

${\displaystyle tan2x=\frac{2tanx}{1-{tan}^{2}x}}$

（2倍角の公式の${\displaystyle 3}$ つ目を参照）

${\displaystyle tanx=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1-{tan}^2\frac{x}{2}}}$ 　

（${\displaystyle x}$を${\displaystyle \frac{x}{2}}$に置き換える）

${\displaystyle tanx=\frac{2t}{1-t^2}}$ 　

（${\displaystyle tan\frac{x}{2}}$を${\displaystyle t}$に置き換える)

ここで${\displaystyle dx}$と${\displaystyle dt}$の関係式を求める．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}={\left(tan\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}$

（ ${\displaystyle tanx}$ の微分と合成関数の微分を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}·{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}$

（ 微分計算の詳細については，導関数の基本式 I を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}·\frac{1}{2}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+{tan}^2\frac{x}{2}\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+t^2\right)}$ 　

よって， ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1+t^2}{2}}$ より

${\displaystyle dt=\frac{1+t^2}{2}dx}$ 　

つまり

${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$ 　･･････(3)　

最後に(1)，(2)，(3)式を問題の式に代入し，計算する．

${\displaystyle \int \frac{1}{\sin x+\cos x+1}dx}$${\displaystyle =\int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}+1}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{\frac{2t+1-t^2+1+t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{\frac{2t+2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{1+t^2}{2\left(t+1\right)}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{t+1}dt}$

${\displaystyle =\log \left|t+1\right|+C}$

${\displaystyle t=tan\frac{x}{2}}$ を代入して，変数を元の${\displaystyle x}$ に戻すと

${\displaystyle \int \frac{1}{sinx+cosx+1}dx}$${\displaystyle =log\left|tan\frac{x}{2}+1\right|+C}$

となる．

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle log\left|tan\frac{x}{2}+1\right|+C}$を微分し，積分前の式${\displaystyle \frac{1}{sinx+cosx+1}}$に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2024年8月2日