tan(x/2)=t とおく置換積分の問題(3)

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \frac{1}{sinx+cosx+1}dx}$ を ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ と置換して解きなさい．

■解説動画

◇積分の動画一覧のページへ

■答

${\displaystyle log\left|tan\frac{x}{2}+1\right|+C}$      （ $C$ は積分定数）

■ヒント

手順1：
半角の公式または2倍角の公式を用いて ${\displaystyle sinx}$ と ${\displaystyle cosx}$ を変数 ${\displaystyle t}$ を用いて表す．

手順2：
${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ を微分し， ${\displaystyle dx}$ と ${\displaystyle dt}$ の関係式を求める．

手順3：
求めた2つの式を用いて置換積分する．（変数 ${\displaystyle x}$ を変数 ${\displaystyle t}$ に変換する）

■解説

・まず， ${\displaystyle sinx}$ を変数 ${\displaystyle t}$ を用いて表す．⇒導出はここを参照

${\displaystyle sinx=\frac{2t}{1+t^2}}$ ･･････(1)　

・ ${\displaystyle cosx}$ の式も同様に ${\displaystyle t}$ の式に変換する．⇒導出はここを参照

${\displaystyle cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}}$ ･･････(2)

・次に ${\displaystyle tanx=\frac{2t}{1-t^2}}$ を導き ${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$ を導出する．

${\displaystyle tan2x=\frac{2tanx}{1-{tan}^{2}x}}$

（2倍角の公式の ${\displaystyle 3}$ つ目を参照）

${\displaystyle tanx=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1-{tan}^2\frac{x}{2}}}$

（ ${\displaystyle x}$ を ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ に置き換える）

${\displaystyle tanx=\frac{2t}{1-t^2}}$

（ ${\displaystyle tan\frac{x}{2}}$ を ${\displaystyle t}$ に置き換える)

ここで ${\displaystyle dx}$ と ${\displaystyle dt}$ の関係式を求める．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}={\left(tan\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}$

（ ${\displaystyle tanx}$ の微分と合成関数の微分を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}·{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}$

（ 微分計算の詳細については，導関数の基本式 I を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}·\frac{1}{2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+{tan}^2\frac{x}{2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+t^2\right)}$

よって， ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1+t^2}{2}}$ より

${\displaystyle dt=\frac{1+t^2}{2}dx}$

つまり

${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$ ･･････(3)　

最後に(1)，(2)，(3)式を問題の式に代入し，計算する．

${\displaystyle \int \frac{1}{\sin x+\cos x+1}dx}$ ${\displaystyle =\int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}+1}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{\frac{2t+1-t^2+1+t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{\frac{2t+2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{1+t^2}{2\left(t+1\right)}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{t+1}dt}$

${\displaystyle =\log \left|t+1\right|+C}$

${\displaystyle t=tan\frac{x}{2}}$ を代入して，変数を元の ${\displaystyle x}$ に戻すと

${\displaystyle \int \frac{1}{sinx+cosx+1}dx}$ ${\displaystyle =log\left|tan\frac{x}{2}+1\right|+C}$

となる．

■確認問題

求まった答え　 ${\displaystyle log\left|tan\frac{x}{2}+1\right|+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{1}{sinx+cosx+1}}$ に戻ることを確認しなさい．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>> ${\displaystyle \int \frac{1}{sinx+cosx+1}dx}$

最終更新日： 2025年6月9日