tan(x/2)=t とおく置換積分の問題(1)

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \frac{1}{cosx}dx}$ 　を ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ 　と置換して解きなさい．

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}log\left(\frac{1+sinx}{1-sinx}\right)}$ 　

■ヒント

手順1：
　半角の公式または 2倍角の公式を用いて ${\displaystyle cosx}$ を ${\displaystyle t}$ の式に変換する．

手順2：
　${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ 　を微分し，${\displaystyle dx}$と ${\displaystyle dt}$の関係式を求める．

手順3：
　求まった2つの式を問題に代入し，答を求める．

■解説

まず ${\displaystyle cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}}$ 　を導く．

${\displaystyle cosx}$${\displaystyle =cos2·\frac{x}{2}}$${\displaystyle ={cos}^2\frac{x}{2}-{sin}^2\frac{x}{2}}$ 　

（ この計算過程については，2倍角の公式を参照．また，半角の公式を用いて導く方法は，${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ とおく置換積分を参照)

${\displaystyle ={cos}^2\frac{x}{2}\left(1-\frac{{sin}^2\frac{x}{2}}{{cos}^2\frac{x}{2}}\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{1+{tan}^2\frac{x}{2}}·\left(1-{tan}^2\frac{x}{2}\right)}$ 　

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1-t^2}{1+t^2}}$ 　

（ ${\displaystyle tan\frac{x}{2}}$を${\displaystyle t}$に置き換える）

次に，${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$ 　を導く．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}={\left(tan\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}$${\displaystyle ={\left(\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}\right)}^{\prime }}$ 　

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}·{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}$ 　

（ 微分計算の詳細については，導関数の基本式 I を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}·\frac{1}{2}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+{tan}^2\frac{x}{2}\right)}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+t^2\right)}$ 　

よって， ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1+t^2}{2}}$ 　より，

${\displaystyle dt=\frac{1+t^2}{2}dx}$ 　

つまり，

${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$ 　

最後に，これらの式を問題に代入し，答を導く．

${\displaystyle \int \frac{1}{cosx}dx}$${\displaystyle =\int \frac{1+t^2}{1-t^2}·\frac{2}{1+t^2}dt}$ 　　

${\displaystyle =\int \frac{2}{1-t^2}dt}$ 　

${\displaystyle =\int 2·\frac{1}{2}·\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt}$ 　

（ ${\displaystyle \frac{1}{1-t^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)}$ 　については，部分分数に分解する手順を参照 ）

${\displaystyle =\int \left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt}$ 　

${\displaystyle =log\left|1+t\right|+{\left(1-t\right)}^{\prime }log\left|1-t\right|+C}$ 　

${\displaystyle =log\left|1+t\right|-log\left|1-t\right|+C}$ 　

${\displaystyle =log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C}$ 　　

${\displaystyle =log\left|\frac{1+tan\frac{x}{2}}{1-tan\frac{x}{2}}\right|+C}$ 　

（ 置換した ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ 　を元に戻す ）

また，この解を変形すると以下のような式が得られる．

${\displaystyle log\left|\frac{1+tan\frac{x}{2}}{1-tan\frac{x}{2}}\right|}$${\displaystyle =log\left|\frac{1+\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}}{1-\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}}\right|}$ 　

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

${\displaystyle =log\left|\frac{cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}}\right|}$ 　

（ 分母と分子に，それぞれ ${\displaystyle cos\frac{x}{2}}$ をかける ）

（ ${\displaystyle \frac{cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2}}=1}$ 　である ）

${\displaystyle =log\left|\frac{{cos}^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{sin}^2\frac{x}{2}}{{cos}^2\frac{x}{2}-{sin}^2\frac{x}{2}}\right|}$ 　

（ 2倍角の公式より， ${\displaystyle 2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=sinx}$ 　， ${\displaystyle {cos}^2\frac{x}{2}-{sin}^2\frac{x}{2}=cosx}$）

${\displaystyle =log\frac{\left|1+sinx\right|}{\left|cosx\right|}}$ 　

（ ${\displaystyle log\frac{\left|1+sinx\right|}{\left|cosx\right|}}$ 　と ${\displaystyle log\left|\frac{1+sinx}{cosx}\right|}$ 　は同じものである．また， ${\displaystyle {cos}^{2}x+{sin}^{2}x=1}$ 　より， ${\displaystyle \left|cosx\right|=\sqrt{1-{sin}^{2}x}}$）

${\displaystyle =log\frac{\left|1+sinx\right|}{\left|\sqrt{1-{sin}^{2}x}\right|}}$ 　

${\displaystyle =log\left|\frac{\sqrt{1+sinx}·\sqrt{1+sinx}}{\sqrt{1-sinx}·\sqrt{1+sinx}}\right|}$ 　

（ 分母と分子に共通因数 ${\displaystyle \sqrt{1+sinx}}$ があるので約分する）

${\displaystyle =log\left|\frac{\sqrt{1+sinx}}{\sqrt{1-sinx}}\right|}$ 　

${\displaystyle =log{\left|\frac{1+sinx}{1-sinx}\right|}^{\frac{1}{2}}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|\frac{1+sinx}{1-sinx}\right|}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left(\frac{1+sinx}{1-sinx}\right)}$ 　

（${\displaystyle \cos x\ne 0}$ が前提になっているので， ${\displaystyle -1<sinx<1}$ となる．よって，真数の値が負になることはないため，絶対値の記号がとれる）

この解は，別の置換方法を用いて導いた場合に得られる解である．詳しくはここを参照．

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle log\left|\frac{1+tan\frac{x}{2}}{1-tan\frac{x}{2}}\right|+C}$ 　を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{1}{cosx}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月23日