置換積分の問題

tan(x/2)=t とおく置換積分の問題(1)

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

1 cosx dx  を tan x 2 =t  と置換して解きなさい.

■答

1 2 log( 1+sinx 1sinx )  

■ヒント

手順1:
 半角の公式または 2倍角の公式を用いて cosx t の式に変換する.

手順2:
  tan x 2 =t  を微分し, dx dt の関係式を求める.

手順3:
 求まった2つの式を問題に代入し,答を求める.

■解説

まず cosx= 1 t 2 1+ t 2  を導く.

cosx =cos2· x 2 = cos 2 x 2 sin 2 x 2  

( この計算過程については,2倍角の公式を参照.また,半角の公式を用いて導く方法は, tan x 2 =t とおく置換積分を参照)

= cos 2 x 2 ( 1 sin 2 x 2 cos 2 x 2 )  

= 1 1+ tan 2 x 2 ·( 1 tan 2 x 2 )  

( 詳細は,三角関数(三角比)の相互関係を参照 )

= 1 t 2 1+ t 2  

tan x 2 t に置き換える)

次に, dx= 2 1+ t 2 dt  を導く.

dt dx = ( tan x 2 ) = ( sin x 2 cos x 2 )  

( 詳細は,三角関数(三角比)の相互関係を参照 )

= 1 cos 2 x 2 · ( x 2 )  

( 微分計算の詳細については,導関数の基本式 I を参照 )

= 1 cos 2 x 2 · 1 2  

= 1 2 ( 1+ tan 2 x 2 )   

= 1 2 ( 1+ t 2 )  

よって, dt dx = 1+ t 2 2  より,

dt= 1+ t 2 2 dx  

つまり,

dx= 2 1+ t 2 dt  

最後に,これらの式を問題に代入し,答を導く.

1 cosx dx = 1+ t 2 1 t 2 · 2 1+ t 2 dt   

= 2 1 t 2 dt  

= 2· 1 2 ·( 1 1+t + 1 1t )dt  

1 1 t 2 = 1 2 ( 1 1+t + 1 1t )  については,部分分数に分解する手順を参照 )

= ( 1 1+t + 1 1t )dt  

=log| 1+t |+ ( 1t ) log| 1t |+C  

=log| 1+t |log| 1t |+C  

=log| 1+t 1t |+C   

=log| 1+tan x 2 1tan x 2 |+C  

( 置換した tan x 2 =t  を元に戻す )

また,この解を変形すると以下のような式が得られる.

log| 1+tan x 2 1tan x 2 | =log| 1+ sin x 2 cos x 2 1 sin x 2 cos x 2 |  

( 詳細は,三角関数(三角比)の相互関係を参照 )

=log| cos x 2 +sin x 2 cos x 2 sin x 2 |  

( 分母と分子に,それぞれ cos x 2 をかける )

=log| ( cos x 2 +sin x 2 cos x 2 sin x 2 )·( cos x 2 +sin x 2 cos x 2 +sin x 2 ) |  

cos x 2 +sin x 2 cos x 2 +sin x 2 =1  である )

=log| cos 2 x 2 +2sin x 2 cos x 2 + sin 2 x 2 cos 2 x 2 sin 2 x 2 |  

2倍角の公式より, 2sin x 2 cos x 2 =sinx  , cos 2 x 2 sin 2 x 2 =cosx

=log | 1+sinx | | cosx |  

log | 1+sinx | | cosx |  と log| 1+sinx cosx |  は同じものである.また, cos 2 x+ sin 2 x=1  より, | cosx |= 1 sin 2 x

=log | 1+sinx | | 1 sin 2 x |  

=log| 1+sinx · 1+sinx 1sinx · 1+sinx |  

( 分母と分子に共通因数 1+sinx があるので約分する)

=log| 1+sinx 1sinx |  

=log | 1+sinx 1sinx | 1 2  

= 1 2 log| 1+sinx 1sinx |  

= 1 2 log( 1+sinx 1sinx )  

cosx0 が前提になっているので, 1<sinx<1 となる.よって,真数の値が負になることはないため,絶対値の記号がとれる)

この解は,別の置換方法を用いて導いた場合に得られる解である.詳しくはここを参照.


■確認問題

求まった答え log| 1+tan x 2 1tan x 2 |+C  を微分し,積分前の式 1 cosx  に戻ることを確認しなさい.


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最終更新日: 2023年11月23日