tan(x/2)=t とおく置換積分の問題(2)

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \frac{1}{sinx}dx}$ を ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ と置換して解きなさい．

■答

$log\left|tan\frac{x}{2}\right|+C$     （$C$ は積分定数）

■ヒント

手順1：
　半角の公式または 2倍角の公式を用いて ${\displaystyle sinx}$ を ${\displaystyle t}$ の式に変換する．

手順2：
　${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ を微分し， ${\displaystyle dx}$ と ${\displaystyle dt}$ の関係式を求める．

手順3：
　求まった2つの式を問題に代入し，答を求める．

■解説

まず ${\displaystyle sinx=\frac{2t}{1+t^2}}$ を導く．

${\displaystyle sinx}$${\displaystyle =sin2·\frac{x}{2}}$ 　

${\displaystyle =2sin\frac{x}{2}·cos\frac{x}{2}}$ 　

（ この計算過程については，2倍角の公式を参照
また，半角の公式を用いて導く方法は，${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ とおく置換積分を参照)

${\displaystyle =2·\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}·{cos}^2\frac{x}{2}}$ 　

${\displaystyle =2·tan\frac{x}{2}·\frac{1}{1+{tan}^2\frac{x}{2}}}$ 　

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

${\displaystyle =\frac{2tan\frac{x}{2}}{1+{tan}^2\frac{x}{2}}}$ 　

（ ${\displaystyle tan\frac{x}{2}}$ を ${\displaystyle t}$ に置き換える ）

${\displaystyle =\frac{2t}{1+t^2}}$ 　

次に ${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$ を導く．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}={\left(tan\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}$ 　

${\displaystyle ={\left(\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}\right)}^{\prime }}$ 　

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}·{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\prime }}$ 　

（ 微分計算の詳細については，導関数の基本式 I を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{{cos}^2\frac{x}{2}}·\frac{1}{2}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+{tan}^2\frac{x}{2}\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+t^2\right)}$ 　

よって， ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1+t^2}{2}}$ より

${\displaystyle dt=\frac{1+t^2}{2}dx}$ 　

つまり

${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$ 　

　

最後に，これらの式を問題に代入し，答を導く．

${\displaystyle \int \frac{1}{sinx}dx}$${\displaystyle =\int \frac{1+t^2}{2t}·\frac{2}{1+t^2}dt}$ 　

${\displaystyle =\int \frac{1}{t}dt}$ 　

${\displaystyle =log\left|t\right|+C}$ 　

（ ${\displaystyle \int \frac{1}{t}dt=log\left|t\right|+C}$ 　については，基本となる関数の積分を参照 ）

${\displaystyle =log\left|tan\frac{x}{2}\right|+C}$　

また，別の置換方法を用いても解を得ることができる詳しくはここを参照．．

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle log\left|tan\frac{x}{2}\right|+C}$ 　を微分し，積分前の式　 ${\displaystyle \frac{1}{sinx}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月23日