積分 1/sinx

積分 1/sinx

1 sinx dx

1 sinx dx = sinx sin 2 x dx = sinx 1 cos 2 x dx

f( cosx )sinx  の形に式が変形できたので, cosx=t  とおいて置換積分を行う.

dt dx =sinxsinxdx=dt

となるので

sinx 1 cos 2 x dx = dt 1 t 2 = dt 1t 1+t

分数関数の積分になるので,部分分数に分解をする.

1 1t 1+t = A 1t + B 1+t = A 1+t +B 1t 1t 1+t = AB t+ A+B 1t 1+t

AB=0 A+B=1

A=B

2B=1

B= 1 2 ,A= 1 2

1 1t 1+t = 1 2 1 1t + 1 1+t

よって

dt 1t 1+t = 1 2 1 1t + 1 1+t dt

= 1 2 log 1t +log 1+t +C

= 1 2 log 1+t 1t +C

= 1 2 log 1t 1+t +C

= 1 2 log 1cosx 1+cosx +C    C は積分定数)

1 sinx dx = 1 2 log( 1cosx 1+cosx )+C

半角の公式をもちいると

1 sinx dx = 1 2 log sin 2 x 2 cos 2 x 2 +C

= 1 2 log tan 2 x 2 +C

=log tan x 2 +C

また,別の置換方法を用いても解を得ることができる.
詳しくはここを参照.

 

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最終更新日:2023年1月30日