∫ 1 sinx dx
∫ 1 sinx dx =∫ sinx sin 2 x dx =∫ sinx 1− cos 2 x dx
f( cosx )sinx の形に式が変形できたので, cosx=t とおいて置換積分を行う.
dt dx =−sinx→sinxdx=−dt
となるので
∫ sinx 1− cos 2 x dx =∫ −dt 1− t 2 =∫ −dt 1−t 1+t
分数関数の積分になるので,部分分数に分解をする.
−1 1−t 1+t = A 1−t + B 1+t = A 1+t +B 1−t 1−t 1+t = A−B t+ A+B 1−t 1+t
A−B=0 A+B=−1
A=B
2B=−1
B=− 1 2 ,A=− 1 2
−1 1−t 1+t =− 1 2 1 1−t + 1 1+t
よって
∫ −dt 1−t 1+t =− 1 2 ∫ 1 1−t + 1 1+t dt
=− 1 2 −log 1−t +log 1+t +C
=− 1 2 log 1+t 1−t +C
= 1 2 log 1−t 1+t +C
= 1 2 log 1−cosx 1+cosx +C ( C は積分定数)
∫ 1 sinx dx = 1 2 log( 1−cosx 1+cosx )+C
半角の公式をもちいると
∫ 1 sinx dx = 1 2 log sin 2 x 2 cos 2 x 2 +C
= 1 2 log tan 2 x 2 +C
=log tan x 2 +C
また,別の置換方法を用いても解を得ることができる. 詳しくはここを参照.
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最終更新日:2023年1月30日