高次の三角関数の積分(2)

${\displaystyle \int f\left(cosx\right)sinxdx=-\int f\left(t\right)dt}$　･･････(1)

■導出

${\displaystyle cosx=t}$ とおく置換積分を行う．

${\displaystyle f\left(cosx\right)=f\left(t\right)}$

${\displaystyle cosx=t}$とおいたとき，この式を微分すると

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-sinx\to dt=-sinxdx}$

したがって，${\displaystyle f\left(sinx\right)cosx}$の置換積分は

${\displaystyle \int f\left(cosx\right)sinxdx=-\int f\left(t\right)dt}$

となり，(1)式が導出される．

この方法は積分される関数（被積分関数）が，${\displaystyle cosx}$の関数${\displaystyle f\left(cosx\right)}$と${\displaystyle sinx}$の積である場合に適用できる．

■具体例

${\displaystyle f\left(x\right)={cos}^{3}xsinx}$ 　･･････(2)

という関数の積分を例に考える．ここで，${\displaystyle cosx=t}$とおき，これを微分する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-sinx\to dt=-sinxdx}$

これらを用いて(2)式を置換積分すると

${\displaystyle \int {cos}^{3}xsinxdx=-\int t^{3}dt}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{4}{t}^4+C}$${\displaystyle =-\frac{1}{4}{cos}^{4}x+C}$

他にも応用例があり，以下参照

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最終更新日： 2023年7月30日