積分　√(x^2-a^2)

$\int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ $(a > 0)$

部分積分法より． $f^{'} (x) = 1, g (x) = \sqrt{x^{2} - a^{2}}$ とおく．

$= \int 1 \cdot \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$

$= x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x$

$= x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - \int \frac{x^{2} - a^{2} + a^{2}}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x$

$= x \sqrt{x^{2} - a^{2}}$ $- \int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x - \int \frac{a^{2}}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x$

$= x \sqrt{x^{2} - a^{2}}$ $- \int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x - a^{2} log | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} |$

$\int \frac{a^{2}}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x$ の積分はここを参照のこと

改めて書き直すと

$\int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ $= x \sqrt{x^{2} - a^{2}}$ $- \int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x - a^{2} \log | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} |$

$\int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ について整理すると

$2 \int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ $= x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - a^{2} \log | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} |$

$\int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ $= \frac{1}{2} {x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - a^{2} \log | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} |}$

積分定数を付け加えると

$\int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ $= \frac{1}{2} {x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - a^{2} \log | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} |} + C$

●別解

$x = \frac{a}{\cos θ}$ とおく（置換積分）．ただし， $0 < θ < \frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2} < θ < π$ ．

$\frac{d x}{d θ} = \frac{a \sin θ}{\cos^{2} θ} \to d x = \frac{a \sin θ}{\cos^{2} θ} d θ$

よって

与式 $= \int \sqrt{{(\frac{a}{\cos θ})}^{2} - a^{2}} \cdot \frac{a \sin θ}{\cos^{2} θ} d θ$

$= \int a \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} θ} - 1} \cdot \frac{a \sin θ}{\cos^{2} θ} d θ$

$\tan^{2} θ + 1 = \frac{1}{\cos^{2} θ}$ より， $\frac{1}{\cos^{2} θ} - 1 = \tan^{2} θ$ ．よって

$= \int a \sqrt{\tan^{2} θ} \cdot \frac{a \sin θ}{\cos^{2} θ} d θ$

$0 < θ < \frac{π}{2}$ のとき， $\tan θ > 0$ となり， $\sqrt{\tan^{2} θ} = \tan θ$ ．

$\frac{π}{2} < θ < π$ のとき， $\tan θ < 0$ となり， $\sqrt{\tan^{2} θ} = - \tan θ$ ．

よって，場合分けをして計算を進める．

I． $\frac{π}{2} < θ < π$ の場合

与式 $= \int a \tan θ \cdot \frac{a \sin θ}{\cos^{2} θ} d θ$

$= a^{2} \int \frac{\sin^{2} θ}{\cos^{3} θ} d θ$

$= a^{2} \int \frac{1 - \cos^{2} θ}{\cos^{3} θ} d θ$

$= a^{2} (\int \frac{1}{\cos^{3} θ} d θ - \int \frac{1}{\cos θ} d θ)$

$\int \frac{1}{\cos^{3} x} d x$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin x}{\cos^{2} x} + \frac{1}{4} \log (\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}) + C$

$\int \frac{1}{\cos x} d x$ $= \frac{1}{2} \log (\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}) + C$ より

$= \frac{a^{2}}{2} \{\frac{\sin x}{\cos^{2} x} - \frac{1}{2} \log (\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x})\} + C$

$x = \frac{a}{\cos θ}$ より， $\cos θ = \frac{a}{x}$

$\sin θ = \sqrt{1 - \cos^{2} θ}$ $= \sqrt{1 - {(\frac{a}{x})}^{2}}$ $= \sqrt{1 - {(\frac{a}{x})}^{2}}$ $= \frac{\sqrt{1 - a^{2}}}{x}$ ．

（∵ $0 < θ < \frac{π}{2}$ のとき， $\cos θ > 0$ ，よって， $x > 0$ ，したがって， $\sqrt{x^{2}} = x$ ）

よって

$= \frac{a^{2}}{2} \{\frac{\frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x}}{{(\frac{a}{x})}^{2}} - \frac{1}{2} \log (\frac{1 + \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x}}{1 - \frac{\sqrt{1 x^{2} a^{2}}}{x}})\} + C$

$= \frac{a^{2}}{2} \{\frac{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a^{2}} - \frac{1}{2} \log (\frac{x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x - \sqrt{x^{2} - a^{2}}})\} + C$

$= \frac{a^{2}}{2} \{\frac{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a^{2}} - \frac{1}{2} \log (\frac{{(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}^{2}}{(x - \sqrt{x^{2} - a^{2}}) (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})})\} + C$

$= \frac{a^{2}}{2} \{\frac{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a^{2}} - \frac{1}{2} \log (\frac{{(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}^{2}}{a^{2}})\} + C$

$= \frac{a^{2}}{2} \{\frac{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a^{2}} - \log (\frac{x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a})\} + C$

$= \frac{a^{2}}{2} \{\frac{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a^{2}} - \log (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) - \log a\} + C$

$= \frac{1}{2} \{x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - a^{2} \log (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) - a^{2} \log a\} + C$

$- \frac{1}{2} a^{2} \log a + C$ を改めて $C$ とおくと

$= \frac{1}{2} \{x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - a^{2} \log (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})\} + C$

II． $\frac{π}{2} < θ < π$ の場合

与式 $= \int a (- \tan θ) \cdot \frac{a \sin θ}{\cos^{2} θ} d θ$

$= - a^{2} \int \frac{\sin^{2} θ}{\cos^{3} θ} d θ$

上記の計算を参考にすると

$= - \frac{a^{2}}{2} \{\frac{\sin x}{\cos^{2} x} - \frac{1}{2} \log (\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x})\} + C$

$x = \frac{a}{\cos θ}$ より， $\cos θ = \frac{a}{x}$

$\sin θ = \sqrt{1 - \cos^{2} θ}$ $= \sqrt{1 - {(\frac{a}{x})}^{2}}$ $= \sqrt{1 - {(\frac{a}{x})}^{2}}$ $= - \frac{\sqrt{1 - a^{2}}}{x}$ ．

（∵ $\frac{π}{2} < θ < π$ のとき， $\cos θ < 0$ ，よって， $x < 0$ ，したがって， $\sqrt{x^{2}} = - x$ ）

よって

$= - \frac{a^{2}}{2} \{\frac{- \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x}}{{(\frac{a}{x})}^{2}} - \frac{1}{2} \log (\frac{1 - \frac{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x}}{1 + \frac{\sqrt{1 x^{2} a^{2}}}{x}})\} + C$

$= - \frac{a^{2}}{2} \{- \frac{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a^{2}} - \frac{1}{2} \log (\frac{x - \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}})\} + C$

$= - \frac{a^{2}}{2} \{- \frac{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a^{2}} - \frac{1}{2} \log (\frac{(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) (x - \sqrt{x^{2} - a^{2}})}{{(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}^{2}})\} + C$

$= - \frac{a^{2}}{2} \{- \frac{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a^{2}} - \frac{1}{2} \log (\frac{a^{2}}{{(x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})}^{2}})\} + C$

$= - \frac{a^{2}}{2} \{- \frac{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a^{2}} - \log (\frac{a}{x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}})\} + C$

$= - \frac{a^{2}}{2} \{- \frac{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a^{2}} + \log (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) - \log a\} + C$

$= \frac{a^{2}}{2} \{\frac{x \sqrt{x^{2} - a^{2}}}{a^{2}} - \log (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) + \log a\} + C$

$= \frac{1}{2} \{x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - a^{2} \log (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) + a^{2} \log a\} + C$

$\frac{1}{2} a^{2} \log a + C$ を改めて $C$ とおくと

$= \frac{1}{2} \{x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - a^{2} \log (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})\} + C$

I，IIより

$\int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ $= \frac{1}{2} \{x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - a^{2} \log (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}})\} + C$

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の具体事例>>根号を含む積分>積分　√(x^2-a^2)

最終更新日： 2025年9月9日

積分 √(x^2-a^2)

●別解

I． π 2 <θ<π の場合

II． π 2 <θ<π の場合

I，IIより

積分　√(x^2-a^2)

I． $\frac{π}{2} < θ < π$ の場合

II． $\frac{π}{2} < θ < π$ の場合