積分　√(x^2-a^2)

${\displaystyle \int \sqrt{x^2-a^2}dx}$    ${\displaystyle \left(a>0\right)}$

部分積分法より．${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=1,g\left(x\right)=\sqrt{x^2-a^2}}$とおく．

${\displaystyle =\int 1\cdot \sqrt{x^2-a^2}dx}$

${\displaystyle =x\sqrt{x^2-a^2}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}$

${\displaystyle =x\sqrt{x^2-a^2}-\int \frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}$

${\displaystyle =x\sqrt{x^2-a^2}}$${\displaystyle -\int \sqrt{x^2-a^2}dx-\int \frac{a^2}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}$

${\displaystyle \int \frac{a^2}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}$  の積分はここを参照のこと

改めて書き直すと

${\displaystyle \int \sqrt{x^2-a^2}dx}$  について整理すると

${\displaystyle 2{\displaystyle \int \sqrt{x^2-a^2}}dx}$${\displaystyle =x\sqrt{x^2-a^2}-a^2\log \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|}$

積分定数を付け加えると

 

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最終更新日： 2023年10月4日