${\displaystyle {\displaystyle \int f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}}$ の積分

${\displaystyle {\displaystyle \int f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}=f\left(g\left(x\right)\right)+C}$ （ $C$ は積分定数）

■導出計算

${\displaystyle {\displaystyle \int f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle g\left(x\right)=t}$ とおく．（置換積分）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=g^{\prime }\left(x\right)\to dt=g^{\prime }\left(x\right)dx}$

よって

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int f^{\prime }\left(t\right)dt}}$

${\displaystyle =f\left(t\right)+C}$ 　( $C$ は積分定数)

${\displaystyle =f\left(g\left(x\right)\right)+C}$

となる．

■事例

${\displaystyle {\displaystyle \int 2x\sqrt{x^2+1}dx}}$

${\displaystyle x^2+1=t}$ とおく

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2x\to dt=2xdx}$

よって

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int \sqrt{t}dt}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int t^{\frac{1}{2}}dt}}$

${\displaystyle =\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C}$ （ $C$ は積分定数）

${\displaystyle =\frac{2}{3}{\left(x^2+1\right)}^{\frac{3}{2}}+C}$

${\displaystyle =\frac{2}{3}\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}+C}$

　

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最終更新日： 2025年9月11日