${\displaystyle \int {\left\{f\left(x\right)\right\}}^{\alpha }{f}^{\prime }\left(x\right)dx}$ の積分

${\displaystyle \int {\left\{f\left(x\right)\right\}}^{\alpha }{f}^{\prime }\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle =\frac{{\left\{f\left(x\right)\right\}}^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C}$ （ $C$ は積分定数）

■導出計算

${\displaystyle \int {\left\{f\left(x\right)\right\}}^{\alpha }{f}^{\prime }\left(x\right)dx}$

${\displaystyle f\left(x\right)=t}$ とおく．（置換積分）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=f^{\prime }\left(x\right)\to dt=f^{\prime }\left(x\right)dx}$

よって

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int t^{\alpha }dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\alpha +1}{t}^{\alpha +1}+C}$ 　 ( $C$ は積分定数)

${\displaystyle =\frac{1}{\alpha +1}f{\left(x\right)}^{\alpha +1}+C}$

となる．

■事例

${\displaystyle {\displaystyle \int 2x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx}}$

${\displaystyle x^2+1=t}$ とおく

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2x\to dt=2xdx}$

よって

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int t^{3}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{t}^4+C}$ （ $C$ は積分定数）

${\displaystyle =\frac{1}{4}{\left(x^2+1\right)}^4+C}$

　

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最終更新日： 2026年10月6日