${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}$を置換積分で計算（ただし，$a>0$）

■$x+\sqrt{x^2-a^2}=t$とおく場合

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1+\frac{1}{2}{\left(x^2-a^2\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x}$${\displaystyle =1+\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{x^2-a^2}+x}{\sqrt{x^2-a^2}}}$

より

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}+x}dt}$

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{t}dt}$

以上より，積分変数を$x$ から$t$ に置換すると

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$  

となり，積分を進めると

${\displaystyle =\log \left|t\right|+C}$ 　($C$ は積分定数)

${\displaystyle =\log \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C}$

■${\displaystyle x=\frac{a}{\cos \theta }}$ とおく場合

ただし，${\displaystyle 0<\theta <\frac{\pi }{2}}$ ，${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta <\pi }$ である．

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=\frac{a\sin \theta }{{\cos }^2\theta }\to dx=\frac{a\sin \theta }{{\cos }^2\theta }d\theta }$

よって，積分変数を$x$ から$t$ に置換すると

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}$${\displaystyle =\int \frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{a}{\cos \theta }\right)}^2-a^2}}\cdot \frac{a\sin \theta }{{\cos }^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle =\int \frac{1}{a\sqrt{\frac{1}{{\cos }^2\theta }-1}}\cdot \frac{a\sin \theta }{{\cos }^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle {\tan }^2\theta +1=\frac{1}{{\cos }^2\theta }}$ より

${\displaystyle =\int \frac{1}{\sqrt{{\tan }^2\theta }}\cdot \frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle 0<\theta <\frac{\pi }{2}}$のとき，${\displaystyle \tan \theta >0}$ となり，${\displaystyle \sqrt{{\tan }^2\theta }=\tan \theta }$ である． ${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta <\pi }$ のとき，${\displaystyle \tan \theta <0}$ となり，の範囲では，${\displaystyle \cos \theta >0}$ となり，${\displaystyle \sqrt{{\tan }^2\theta }=-\tan \theta }$ である．よって，場合分けをして計算をするめる．

●${\displaystyle 0<\theta <\frac{\pi }{2}}$場合

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{\tan \theta }\cdot \frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle =\int \frac{1}{\cos \theta }d\theta }$

ここを参照すると

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{1+\sin \theta }{1-\sin \theta }\cdot \frac{1+\sin \theta }{1+\sin \theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{{\left(1+\sin \theta \right)}^2}{1-{\sin }^2\theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{{\left(1+\sin \theta \right)}^2}{{\cos }^2\theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\log {\left(\frac{{\left(1+\sin \theta \right)}^2}{{\cos }^2\theta }\right)}^{\frac{1}{2}}+C}$

${\displaystyle \cos \theta >0}$ ，${\displaystyle 1+\sin \theta >0}$ より

${\displaystyle =\log \left(\frac{1+\sin \theta }{\cos \theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(\frac{1}{\cos \theta }+\tan \theta \right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(\frac{1}{\cos \theta }+\sqrt{\frac{1}{{\cos }^2\theta }-1}\right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(\frac{x}{a}+\sqrt{{\left(\frac{x}{a}\right)}^2-1}\right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(\frac{1}{a}\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)\right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(x-\sqrt{x^2-a^2}\right)+\log \left(\frac{1}{a}\right)+C}$

${\displaystyle \log \left(\frac{1}{a}\right)+C}$ を改めて$C$とする．

${\displaystyle =\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C}$

備考：${\displaystyle 0<\theta <\frac{\pi }{2}}$のとき，$x>a$ となり，$x+\sqrt{x^2-a^2}>0$

●${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta <\pi }$ の場合

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{-\tan \theta }\cdot \frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle =-\int \frac{1}{\cos \theta }d\theta }$

ここを参照すると

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\log \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log {\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)}^{-1}+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{1-\sin x}{1+\sin x}\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }\cdot \frac{1-\sin \theta }{1-\sin \theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{{\left(1-\sin \theta \right)}^2}{1-{\sin }^2\theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{{\left(1-\sin \theta \right)}^2}{{\cos }^2\theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\log {\left(\frac{{\left(1-\sin \theta \right)}^2}{{\cos }^2\theta }\right)}^{\frac{1}{2}}+C}$

${\displaystyle \cos \theta <0}$ ，${\displaystyle 1-\sin \theta >0}$ より

${\displaystyle =\log \left(\frac{1-\sin \theta }{-\cos \theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(-\frac{1}{\cos \theta }＋\tan \theta \right)+C}$

${\displaystyle \sqrt{{\tan }^2\theta }=-\tan \theta }$より

${\displaystyle =\log \left(-\frac{1}{\cos \theta }-\sqrt{{\tan }^2\theta }\right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(-\frac{1}{\cos \theta }-\sqrt{\frac{1}{{\cos }^2\theta }-1}\right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(-\frac{x}{a}-\sqrt{{\left(\frac{x}{a}\right)}^2-1}\right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(\frac{1}{a}\left(-x-\sqrt{x^2-a^2}\right)\right)+C}$

${\displaystyle =\log \left(-x-\sqrt{x^2-a^2}\right)+\log \left(\frac{1}{a}\right)+C}$

${\displaystyle \log \left(\frac{1}{a}\right)+C}$ を改めて$C$とする．

${\displaystyle =\log \left(-x-\sqrt{x^2-a^2}\right)+C}$

備考：${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta <\pi }$のとき，$x<-a$となり，$-x-\sqrt{x^2-a^2}>0$

●${\displaystyle 0<\theta <\frac{\pi }{2}}$ ，${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta <\pi }$の場合

上記の結果を統合すると

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}$${\displaystyle =\log \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C}$

となる．

 

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最終更新日： 2025年9月5日