二項分布

離散型確率変数 $X$ の 確率関数（確率分布）が

となるものを二項分布といい，確率変数 ${\displaystyle X}$ は二項分布 ${\displaystyle B\left(n,p\right)}$ に従うという．

二項分布 ${\displaystyle B\left(n,p\right)}$ について

平均： ${\displaystyle E\left(X\right)=np}$

分散： ${\displaystyle V\left(X\right)=npq}$

である．

二項分布の確率関数は，二項定理

${\displaystyle {\left(q+p\right)}^n={\displaystyle \sum _{x=0}^n{}_n{C}_x{q}^{n-x}{p}^x}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{x=0}^n{}_n{C}_x{p}^x{q}^{n-x}}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{x=0}^{n}f\left(x\right)}=1}$

の各項に対応している．

● ${\displaystyle E\left(X\right)}$ を求める計算

${\displaystyle E\left(X\right)={\displaystyle \sum _{x=0}^{n}xf\left(x\right)}}$ （平均を参照）

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{x=0}^{n}x{}_{n}C{}_x{p}^x{q}^{n-x}}}$

$x=0$ のとき， ${\displaystyle xf\left(x\right)=0}$ となるので， $x=1$ から始めても $\sum$ の値はかわらない．よって

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{x=1}^{n}x{}_{n}C{}_x{p}^x{q}^{n-x}}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{x=1}^n\frac{xn!}{x!\left(n-x\right)!}{p}^x{q}^{n-x}}}$ （組合わせ ${\displaystyle {}_{n}C_r}$ を参照）

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{x=1}^n\frac{xn\left(n-1\right)!}{x!\left(n-x\right)!}p\cdot p^{x-1}{q}^{n-x}}}$

${\displaystyle =np{\displaystyle \sum _{x=1}^n\frac{\left(n-1\right)!}{\left(x-1\right)!\left(n-x\right)!}{p}^{x-1}{q}^{n-x}}}$

${\displaystyle x-1=y}$ とおいて式を書きかえる．

${\displaystyle =np{\displaystyle \sum _{y=0}^{n-1}\frac{\left(n-1\right)!}{y!\left\{n-\left(y+1\right)\right\}!}{p}^y{q}^{n-\left(y+1\right)}}}$

${\displaystyle n-1=m}$ とおいて式を書きかえる．

${\displaystyle =np{\displaystyle \sum _{y=0}^m\frac{m!}{y!\left(m-y\right)!}{p}^y{q}^{m-y}}}$

${\displaystyle =np{\left(p+q\right)}^m}$ （二項定理を参照）

${\displaystyle p+q=1}$ より

${\displaystyle =np}$

● ${\displaystyle V\left(X\right)}$ を求める計算

${\displaystyle =E\left(X\left(X-1\right)\right)+E\left(X\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{x=0}^{n}x\left(x-1\right)f\left(x\right)}+np-{\left(np\right)}^2}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{x=0}^{n}x\left(x-1\right){}_{n}C{}_x{p}^x{q}^{n-x}}}$ ${\displaystyle +np-{\left(np\right)}^2}$

$x=0$ ， $x=1$ のとき， $x\left(x-1\right)f\left(x\right)=0$ となるので， $x=2$ から始めても $\sum$ の値はかわらない．よって

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{x=2}^{n}x\left(x-1\right){}_{n}C{}_x{p}^x{q}^{n-x}}}$ ${\displaystyle +np-{\left(np\right)}^2}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{x=2}^n\frac{x\left(x-1\right)n!}{x!\left(n-x\right)!}{p}^x{q}^{n-x}}+np-{\left(np\right)}^2}$ （組合わせ ${\displaystyle {}_{n}C_r}$ を参照）

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{x=2}^n\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{\left(x-2\right)!\left(n-x\right)!}{p}^2{p}^{x-2}{q}^{n-x}}}$ ${\displaystyle +np-{\left(np\right)}^2}$

${\displaystyle x-2=y}$ とおいて式を書きかえる．

${\displaystyle n-2=l}$ とおいて式を書きかえる．

${\displaystyle =n\left(n-1\right)p^2{\displaystyle \sum _{y=0}^{n-2}\frac{l!}{y!\left(l-y\right)!}{p}^y{q}^{l-y}}}$ ${\displaystyle +np-{\left(np\right)}^2}$

${\displaystyle =n\left(n-1\right)p^2{\left(p+q\right)}^l+np-{\left(np\right)}^2}$ （二項定理を参照）

${\displaystyle p+q=1}$ より

${\displaystyle =n\left(n-1\right)p^2+np-{\left(np\right)}^2}$

${\displaystyle ={\left(np\right)}^2-n{p}^2+np-{\left(np\right)}^2}$

${\displaystyle =np\left(1-p\right)}$

${\displaystyle =npq}$

■二項分布と正規分布の関係

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最終更新日： 2026年4月9日