不偏分散

不偏分散 ${\displaystyle s^2}$とは，母集団から標本を抜き取った時の標本データのバラツキ具合から母集団の分散を推定したもので ${\displaystyle n}$ 個の標本データの値が ${\displaystyle x_1，x_2，\cdots ，x_n}$ 　とあるとき，次式で定義される．(和記号Σ参照)

${\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}$

$n$ で割るのではなく $n-1$ で割っていることに注意

■考え方

標本の分散 ${\displaystyle {\sigma }_s{}^2}$ の期待値 ${\displaystyle \overline{{\sigma }_s{}^2}}$ を母分散 ${\sigma }^2$ を使って表すと

${\displaystyle \overline{{\sigma }_s{}^2}=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2}$　（ここを参照）

よって

${\displaystyle {\sigma }^2=\frac{n}{n-1}\overline{{\sigma }_s{}^2}}$

となり，標本の分散

${\displaystyle {\sigma }_s{}^2=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}$

に ${\displaystyle \frac{n}{n-1}}$ を掛けた

${\displaystyle \frac{n}{n-1}\left\{\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2\right\}}$${\displaystyle =\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}$

を不偏分散 $s^2$

${\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}$

と定義している．

このように定義すると，不偏分散 $s^2$ の期待値が母分散 ${\displaystyle {\sigma }^2}$ と一致することになり，この不偏分散 ${\displaystyle s^2}$ は，母分散を推定するのに使われる．

 

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最終更新日： 2024年4月23日