標本平均の分散

前提：母集団の中から， $n$ 個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集団に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．ただし， 母分散を ${\displaystyle {\sigma }^2}$ とする．

標本平均の分散は ${\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}$ となる．

■導出

母集団の中から， $n$ 個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集団に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．

1回目の試行で取り出したデータを

$x_{11}$ ， $x_{12}$ ， $\cdots$ ， $x_{1n}$

2回目の試行で取り出したデータを

$x_{21}$ ， $x_{22}$ ， $\cdots$ ， $x_{2n}$

$i$ 回目の試行で取り出したデータを

$x_{i1}$ ， $x_{i2}$ ， $\cdots$ ， $x_{in}$

と表記する．

各試行で得られた $x_{i1}$ ， $x_{i2}$ ， $\cdots$ ， $x_{in}$ が生じる各確率は一定の確率で表されるので確率変数になる．それらの確率変数を $X_1$ ， $X_2$ ， $\cdots$ ， $X_n$ とする．また，各試行の標本の平均を ${\mu }_i$ ，標本の分散を ${\displaystyle {\sigma }_i{}^2}$ とする．標本平均 ${\mu }_i$ ，標本分散 ${\displaystyle {\sigma }_i{}^2}$ も確率変数となり，それぞれを， $M$ と $S$ で表すことにする．以上の内容を表でまとめると以下のようになる．

となる．

前提条件より

${\displaystyle V\left(X_j\right)={\sigma }^2}$  ･･････(3)

となる．

また

$X_1$ ， $X_2$ ， $\cdots$ ， $X_n$ は互いに独立

である．

標本平均の分散は，(2)より

${\displaystyle {\sigma }_s^2=V\left(M\right)}$   ･･････(4)

となる(ここを参照)．

(4)に(2)を代入する．

${\displaystyle {\sigma }_s^2=V\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum }_{j=1}^n{X}_j\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{n^2}V\left({\displaystyle \sum }_{j=1}^n{X}_j\right)}$  (ここを参照)

${\displaystyle =\frac{1}{n^2}{\displaystyle \sum }_{j=1}^{n}V\left(X_j\right)}$  (ここを参照)

(3)より

${\displaystyle =\frac{1}{n^2}{\displaystyle \sum }_{j=1}^n{\sigma }^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{n^2}n{\sigma }^2}$

${\displaystyle =\frac{{\sigma }^2}{n}}$

標本の平均の分散は母分散を標本数$n$ で割った値になる．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>統計>>標本平均の分散

最終更新日： 2026年5月6日