$x$ の範囲に指定がある場合の2次関数の最大・最小

2次関数 ${\displaystyle y=a{\left(x-p\right)}^2+q}$ について考える．

${\displaystyle x}$ の指定範囲（変域） ${\displaystyle x_1\leqq x\leqq x_2}$ と頂点の ${\displaystyle x}$ 座標（軸）の位置関係に注意して最大値，最小値を求める．その場合， a が正，負においてそれそれ以下に示す5つの場合が考えられる．

■ ${\displaystyle a>0}$ の場合　

（右図参照，変域は ${\displaystyle x_1\leqq x\leqq x_2}$ とする．）

● ${\displaystyle x_2<p}$ の場合 ${\displaystyle x_1}$ で最大， ${\displaystyle x_2}$ で最小となる．

● ${\displaystyle x_1<p\leqq x_2}$ かつ ${\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}<p}$ の場合 ${\displaystyle x_1}$ で最大， ${\displaystyle p}$ で最小となる．

● ${\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}=p}$ の場合 ${\displaystyle x_1}$ ， ${\displaystyle x_2}$ で最大， ${\displaystyle p}$ で最小となる．

● ${\displaystyle x_1<p\leqq x_2}$ かつ ${\displaystyle p<\frac{x_1+x_2}{2}}$ の場合 ${\displaystyle x_2}$ で最大， ${\displaystyle p}$ で最小となる．

● ${\displaystyle p<x_1}$ の場合 ${\displaystyle x_2}$ で最大， ${\displaystyle x_1}$ で最小となる．

■ ${\displaystyle a<0}$ の場合　

グラフが上下対称になるので， ${\displaystyle a>0}$ の場合における最小値と最大値が入れ替わる．確かめて見よう．

　

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最終更新日： 2025年2月14日