双曲線
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双曲線

    目次

  1. 双曲線の定義 (焦点がx軸上の場合)
  2. 双曲線の方程式 (焦点がx軸上の場合)
  3. 双曲線の方程式の漸近線 (焦点がx軸上の場合)
  4. 双曲線の定義 (焦点がy軸上の場合)
  5. 双曲線の方程式 (焦点がy軸上の場合)
  6. 双曲線の方程式の漸近線 (焦点がy軸上の場合)

■双曲線の定義(焦点がx軸上の場合)

平面上で, 2 定点  F 1 ,  F 2  からの距離の差が一定で点の軌跡を双曲線といい,

点  F 1 ,  F 2  を焦点という.

翔曲線1 c>0 のとき,焦点座標は F 1 ( c , 0 ) F 2 ( c , 0 ) である.

P( x,y ) であるから,

F 1 P= | xc | 2 + | y | 2 F 2 P= | x( c ) | 2 + | y | 2

| F 1 P F 2 P |=2a   ( c>a ) となる.

2a  は双曲線の x  軸との交点の距離の差である.

2a=a(a)

より,双曲線の x  軸との交点の x  座標の値は a ,  a である.

この双曲線を表す方程式

x 2 a 2 y 2 b 2 =1   (ただし, b= c 2 a 2 )

となる.

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■双曲線の方程式  x 2 a 2 y 2 b 2 =1  の導出(焦点がx軸上の場合)

F 2 P > F 1 P の時

| x( c ) | 2 + | y | 2 | xc | 2 + | y | 2 =2a

( x+c ) 2 + y 2 =2a+ ( xc ) 2 + y 2

両辺を 2  乗して,整理すると,

( x+c ) 2 + y 2 =2a+4a ( xc ) 2 + y 2 + ( xc ) 2 + y 2

2cx=4 a 2 +4a ( xc ) 2 + y 2 2cx

4a ( xc ) 2 + y 2 =4cx4 a 2

( xc ) 2 + y 2 = c a xa

更に両辺を 2 乗する.

( xc ) 2 + y 2 = ( c a xa ) 2

x 2 + c 2 + y 2 = c 2 a 2 x 2 + a 2

( 1 c 2 a 2 ) x 2 + y 2 = a 2 c 2

a 2 c 2 a 2 x 2 + y 2 = a 2 c 2

両辺を  a 2 c 2  で割る.

x 2 a 2 + y 2 a 2 c 2 =1

x 2 a 2 y 2 c 2 a 2 =1

c>a  より  c 2 a 2 >0 となる.よって c 2 a 2 = b 2 b>0 とおくと

x 2 a 2 y 2 b 2 =1

となる.

F 1 P> F 2 P のとき

| xc | 2 + | y | 2 | x( c ) | 2 + | y | 2 =2a

( xc ) 2 + y 2 =2a ( x+c ) 2 + y 2

両辺を2乗する.

( xc ) 2 + y 2 = ( 2a ) 2 +4a ( x+c ) 2 + y 2 + ( x+c ) 2 + y 2

x 2 2cx+ c 2 + y 2 =4 a 2 +4a ( x+c ) 2 + y 2 + x 2 +2cx+ c 2 + y 2

左辺と右辺を整理して,

2cx=4 a 2 +4a ( x+c ) 2 + y 2 +2cx

4a ( x+c ) 2 + y 2 =4cx4 a 2

( x+c ) 2 + y 2 = c a xa

更に両辺を2乗する.

( x+c ) 2 + y 2 = ( c a xa ) 2

x 2 +2cx+ c 2 + y 2 = c 2 a 2 x 2 +2cx+ a 2

x 2 + c 2 + y 2 = c 2 a 2 x 2 + a 2

( 1 a 2 c 2 ) x 2 + y 2 = a 2 c 2

a 2 c 2 a 2 x 2 + y 2 = a 2 c 2

x 2 a 2 + y 2 a 2 c 2 =1

x 2 a 2 + y 2 ( c 2 a 2 ) =1

x 2 a 2 y 2 c 2 a 2 =1

c>a  より  c 2 a 2 >0 となる.よって c 2 a 2 = b 2 b>0 とおくと

x 2 a 2 y 2 b 2 =1

となる.

このように, F 2 P> F 1 P  のときと,  F 1 P> F 2 P のときで,双曲線の方程式が等しくなる.

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■双曲線の方程式  x 2 a 2 y 2 b 2 =1  の漸近線(焦点がx軸上の場合)

双曲線の方程式  x 2 a 2 y 2 b 2 =1  より

y 2 b 2 = x 2 a 2 1

y 2 = b 2 a 2 x 2 b 2

y 2 = b 2 a 2 x 2 ( 1 a 2 x 2 )

y=± b a x 1 a 2 x 2

x  あるいは,  x  の時, a 2 x 2 0  に近づく.

したがって,  y=± b a x 10 より, x 2 a 2 y 2 b 2 =1  の漸近線は

y=± b a x  

となる.

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■双曲線の定義(焦点がy軸上の場合)

双曲線2 F 1 ( c,0 )

F 2 ( c,0 )

F 1 P= | x | 2 + | yc | 2

F 2 P= | x | 2 + | y( c ) | 2

| F 1 P F 2 P |=2b

c>b

距離の差  2b

双曲線の y 軸との交点の y 座標の値は b,b

この双曲線を表す方程式は

x 2 a 2 y 2 b 2 =1   (ただし, a= c 2 b 2 )

となる.

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■双曲線の方程式  x 2 a 2 y 2 b 2 =1  の導出(焦点がy軸上の場合)

F 2 P> F 1 P の時

| x | 2 + | y( c ) | 2 | x | 2 + | yc | 2 =2b

x 2 + ( y+c ) 2 =2b+ x 2 + ( yc ) 2

x 2 + ( y+c ) 2 = ( 2b ) 2 +4b x 2 + ( yc ) 2 + x 2 + ( yc ) 2

x 2 + y 2 +2cy+ c 2 =4 b 2 +4b x 2 + ( yc ) 2 + x 2 + y 2 2cy+ c 2

4b x 2 + ( yc ) 2 =4cy4 b 2

x 2 + ( yc ) 2 = c b yb

x 2 + ( yc ) 2 = ( c b yb ) 2

x 2 + y 2 2cy+ c 2 = c 2 b 2 y 2 2cy+ b 2

x 2 +( 1 c 2 b 2 ) y 2 = b 2 c 2

x 2 + b 2 c 2 b 2 y 2 = b 2 c 2

x 2 b 2 c 2 + y 2 b 2 =1

x 2 ( c 2 b 2 ) + y 2 b 2 =1

c>b  より  c 2 b 2 >0 となる.よって c 2 b 2 = a 2 a>0 とおくと c 2 b 2 = a 2  とおくと

x 2 a 2 + y 2 b 2 =1

x 2 a 2 y 2 b 2 =1

となる.

F 1 P> F 2 P  の時

| x | 2 + | yc | 2 | x | 2 + | y( c ) | 2 =2b

x 2 + ( yc ) 2 = ( 2b ) 2 +4b x 2 + ( y+c ) 2 + x 2 + ( y+c ) 2

x 2 + y 2 2cy+ c 2 =4 b 2 +4b x 2 + ( y+c ) 2 + x 2 + y 2 +2cy+ c 2

4b x 2 + ( y+c ) 2 =4cy4 b 2

x 2 + ( y+c ) 2 = c b yb

x 2 + ( y+c ) 2 = ( c b yb ) 2

x 2 + y 2 +2cy+ c 2 = c 2 b 2 y 2 +2cy+ b 2

x 2 +( 1 c 2 b 2 ) y 2 = b 2 c 2

x 2 + b 2 c 2 b 2 y 2 = b 2 c 2

x 2 b 2 c 2 + y 2 b 2 =1

x 2 ( c 2 b 2 ) + y 2 b 2 =1

x 2 c 2 b 2 + y 2 b 2 =1

c> b  より  c 2 b 2 >0 となる.よって c 2 b 2 = a 2 a>0 とおくと c 2 b 2 = a 2  とおくと

x 2 a 2 + y 2 b 2 =1

両辺に 1 を掛けて,

x 2 a 2 y 2 b 2 =1

となる.

このように, F 2 P> F 1 P の場合と F 1 P> F 2 P の場合で方程式が等しくなる.

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■双曲線の方程式 x 2 a 2 y 2 b 2 =1 の漸近線(焦点がy軸上の場合)

x 2 a 2 y 2 b 2 =1 より,

y 2 b 2 = x 2 a 2 +1

y 2 = b 2 a 2 x 2 + b 2

y 2 = b 2 a 2 x 2 ( 1+ a 2 x 2 )

y=± b a x 1+ a 2 x 2

x   あるいは, x   の時, a 2 x 2 0 となるので, y   の値は ± b a x に近づく.

すなわち, x 2 a 2 y 2 b 2 =1 のグラフの漸近線は

y=± b a x

となる.

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最終更新日: 2013年10月11日

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