陰関数表示された曲線の曲率半径 (radius of curvature of a curve represented by a implicit function)

$x y$ 平面で定義された曲線が陰関数表示 $F (x, y) = 0$ で表されているとし，その偏導関数を

$F_{x} = \frac{\partial F}{\partial x}$ ， $F_{y} = \frac{\partial F}{\partial y}$ ， $F_{x x} = \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}$ ， $F_{x y} = \frac{\partial^{2} F}{\partial y \partial x}$ ， $F_{y x} = \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}$ ， $F_{y y} = \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}$

とする． $F (x, y) = 0$ より，全微分 $d F = F_{x} d x + F_{y} d y = 0$ なので

$\frac{d y}{d x} = - \frac{F_{x}}{F_{y}}$

である．曲率半径

$R = | \frac{d s}{d α} |$

において

$\tan α = \frac{d y}{d x} = - \frac{F_{x}}{F_{y}}$

より

$\frac{d (\tan α)}{d α} d α = - d (\frac{F_{x}}{F_{y}})$ $= - \frac{\partial}{\partial x} (\frac{F_{x}}{F_{y}}) d x - \frac{\partial}{\partial y} (\frac{F_{x}}{F_{y}}) \frac{d y}{d x} d x$

⇒ $\frac{d α}{\cos^{2} α} = - (\frac{F_{x x} F_{y} - F_{x} F_{y x}}{F_{y}^{2}}) d x - (\frac{F_{x y} F_{y} - F_{x} F_{y y}}{F_{y}^{2}}) (- \frac{F_{x}}{F_{y}}) d x$

⇒ $(1 + \tan^{2} α) d α = \frac{F_{y} (F_{x} F_{y x} - F_{y} F_{x x}) - F_{x} (F_{x} F_{y y} - F_{y} F_{x y})}{F_{y}^{3}} d x$

となり，右辺を行列式を用いて表すと

⇒ ${1 + {(- \frac{F_{x}}{F_{y}})}^{2}} d α$ $= \frac{- F_{x} | \begin{matrix} F_{x} & F_{x y} \\ F_{y} & F_{y y} \end{matrix} | + F_{y} | \begin{matrix} F_{x} & F_{x x} \\ F_{y} & F_{y x} \end{matrix} |}{F_{y}^{3}} d x$

⇒ $\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}}{F_{y}^{2}} d α = \frac{| \begin{matrix} 0 & F_{x} & F_{y} \\ F_{x} & F_{x x} & F_{x y} \\ F_{y} & F_{y x} & F_{y y} \end{matrix} |}{F_{y}^{3}} d x$ $= \frac{\det M}{F_{y}^{3}} d x$ ， $M = (\begin{matrix} 0 & F_{x} & F_{y} \\ F_{x} & F_{x x} & F_{x y} \\ F_{y} & F_{y x} & F_{y y} \end{matrix})$

を得る．最終的に

$d α = \frac{\det M}{F_{y} (F_{x}^{2} + F_{y}^{2})} d x$

を得る．また

$d s = \sqrt{{(d x)}^{2} + {(d y)}^{2}}$ $= \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x$ $= \sqrt{1 + \frac{F_{y}^{2}}{F_{x}^{2}}} d x$ $= \frac{\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}}}{F_{y}} d x$

であるので，曲率半径 $R$ は $x$ と $y$ の関数として

$R (x, y) = | \frac{d s}{d α} |$ $= | \frac{\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}}}{F_{y}} \cdot \frac{F_{y} (F_{x}^{2} + F_{y}^{2})}{\det M} |$ $= \frac{{(F_{x}^{2} + F_{y}^{2})}^{\frac{3}{2}}}{| \det M |}$

と求まる．

また，曲線上の点 P $(x, y)$ 付近を近似する円の中心 C の座標 $(c_{x}, c_{y})$ は

$(c_{x}, c_{y}) = (x, y) + (- \frac{d y}{d α}, \frac{d x}{d α})$ $= (x, y) + \frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}}{\det M} (F_{x}, F_{y})$

となる．

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最終更新日：2023年10月1日