陰関数表示された曲線の曲率半径 (radius of curvature of a curve represented by a implicit function)

xy 平面で定義された曲線が陰関数表示 F(x,y) =0 で表されているとし,その偏導関数を

Fx = F x Fy = F y Fxx = 2F x2 Fxy = 2F yx Fyx = 2F xy Fyy = 2F y2

とする. F(x,y) =0  より,全微分  dF= Fxdx + Fydy =0  なので

dy dx = Fx Fy

である.曲率半径

R= | ds dα |

において

tanα= dy dx = Fx Fy

より

d(tanα) dα dα = d ( Fx Fy ) = x ( Fx Fy ) dx y ( Fx Fy ) dydx dx

    ⇒     dα cos2 α = ( FxxFy FxFyx Fy2 ) dx ( FxyFy FxFyy Fy2 ) ( Fx Fy ) dx

    ⇒     ( 1+tan2α ) dα = Fy ( FxFyx FyFxx ) Fx ( FxFyy FyFxy ) Fy3 dx

となり,右辺を行列式を用いて表すと

    ⇒     { 1+ ( Fx Fy ) 2 } dα = Fx | Fx Fxy Fy Fyy | + Fy | Fx Fxx Fy Fyx | Fy3 dx

    ⇒     Fx2 + Fy2 Fy2 dα = | 0 Fx Fy Fx Fxx Fxy Fy Fyx Fyy | Fy3 dx = detM Fy3 dx  ,  M = ( 0 Fx Fy Fx Fxx Fxy Fy Fyx Fyy )

を得る.最終的に

dα = detM Fy ( Fx2 + Fy2 ) dx

を得る.また

ds= (dx)2 + (dy)2 = 1+ ( dydx ) 2 dx = 1+ Fy2 Fx2 dx = Fx2 + Fy2 Fy dx

であるので,曲率半径 R x y の関数として

R(x,y)= | ds dα | = | Fx2 + Fy2 Fy Fy ( Fx2 + Fy2 ) detM | = ( Fx2 + Fy2 ) 32 |detM|

と求まる.

また,曲線上の点 P ( x , y ) 付近を近似する円の中心 C の座標 ( cx , cy )

( cx , cy ) = ( x , y ) + ( dy dα , dx dα ) = ( x,y ) + Fx2 + Fy2 detM ( Fx , Fy )

となる.


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最終更新日: 2023年9月30日