重心

まず

△$\text{AG}{\text{B}}^{\prime }$ の面積を$S1$ ，△$\text{AG}{\text{C}}^{\prime }$の面積を$S2$ ，
△$\text{BG}{\text{C}}^{\prime }$の面積を$S3$ ，△$\text{BG}{\text{A}}^{\prime }$の面積を$S4$ ，
△$\text{CG}{\text{A}}^{\prime }$の面積を$S5$ ，△$\text{CG}{\text{B}}^{\prime }$の面積を$S6$ ，

とする．

${\text{A}}^{\prime }$，${\text{B}}^{\prime }$，${\text{C}}^{\prime }$ は各辺の中点であるから

$S4=S5$ 　･･････(1)

$S6=S1$ 　･･････(2)

$S2=S3$ 　･･････(3)

△$\text{A}{\text{A}}^{\prime }\text{B}$面積（$S2+S3+S4$ ） $=$△$\text{A}{\text{A}}^{\prime }\text{C}$の面積（$S5+S6+S1$）　･･････(4)

△$\text{B}{\text{B}}^{\prime }\text{C}$の面積（$S4+S5+S6$） $=$△$\text{B}{\text{B}}^{\prime }\text{A}$の面積（$S1+S2+S3$） 　･･････(5)

△$\text{C}{\text{C}}^{\prime }\text{A}$の面積（$S6+S1+S2$） $=$△$\text{C}{\text{C}}^{\prime }\text{B}$の面積（$S3+S4+S5$）　 ･･････(6)

(1)，(4)より

$S2+S3=S6+S1$　 ･･････(7)

(1)，(2)，(7)より

$S1=S2=S3=S6$ 　･･････(8)

(2)，(5)より

${\displaystyle S4+S5=S2+S3}$　 ･････(9)

(1)，(3)，(9)より

$S2=S3=S4=S5$　 ･･････(10)

(8)，(10)より

$S1=S2=S3=S4=S5=S6$　 ･･････(11)

したがって

以上より

$\text{A}\text{G}:{\text{A}}^{\prime }\text{G}=$$2:1$

同様にして

$\text{B}\text{G}:{\text{B}}^{\prime }\text{G}=$$2:1$

同様にして

$\text{C}\text{G}:{\text{C}}^{\prime }\text{G}=$$2:1$

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