三角形の重心

まず

△ $\text{AG}{\text{B}}^{\prime }$ の面積を $S1$ ，△ $\text{AG}{\text{C}}^{\prime }$ の面積を $S2$ ，
△ $\text{BG}{\text{C}}^{\prime }$ の面積を $S3$ ，△ $\text{BG}{\text{A}}^{\prime }$ の面積を $S4$ ，
△ $\text{CG}{\text{A}}^{\prime }$ の面積を $S5$ ，△ $\text{CG}{\text{B}}^{\prime }$ の面積を $S6$ ，

とする．

${\text{A}}^{\prime }$ ， ${\text{B}}^{\prime }$ ， ${\text{C}}^{\prime }$ は各辺の中点であるから

$S4=S5$ ･･････(1)

$S6=S1$ ･･････(2)

$S2=S3$ ･･････(3)

△ $\text{A}{\text{A}}^{\prime }\text{B}$ 面積（ $S2+S3+S4$ ） $=$ △ $\text{A}{\text{A}}^{\prime }\text{C}$ の面積（ $S5+S6+S1$ ）　･･････(4)

△ $\text{B}{\text{B}}^{\prime }\text{C}$ の面積（ $S4+S5+S6$ ） $=$ △ $\text{B}{\text{B}}^{\prime }\text{A}$ の面積（ $S1+S2+S3$ ） 　･･････(5)

△ $\text{C}{\text{C}}^{\prime }\text{A}$ の面積（ $S6+S1+S2$ ） $=$ △ $\text{C}{\text{C}}^{\prime }\text{B}$ の面積（ $S3+S4+S5$ ）　 ･･････(6)

(1)，(4)より

$S2+S3=S6+S1$ ･･････(7)

(1)，(2)，(7)より

$S1=S2=S3=S6$ ･･････(8)

(2)，(5)より

${\displaystyle S4+S5=S2+S3}$ ･････(9)

(1)，(3)，(9)より

$S2=S3=S4=S5$ ･･････(10)

(8)，(10)より

$S1=S2=S3=S4=S5=S6$ ･･････(11)

したがって

以上より

$\text{A}\text{G}:{\text{A}}^{\prime }\text{G}=$ $2:1$

同様にして

$\text{B}\text{G}:{\text{B}}^{\prime }\text{G}=$ $2:1$

同様にして

$\text{C}\text{G}:{\text{C}}^{\prime }\text{G}=$ $2:1$

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