ベクトルに関する問題

■問題

三角形 $\text{ABC}$の各頂点 $\text{A}$ ， $\text{B}$ ， $\text{C}$ と各対辺の中点のを結ぶ3つの線分(中線)は1点で交わることを示せ．

■ヒント

線分 $\text{BC}$の中点を ${\text{A}}^{\prime }$ ， $\text{AC}$の中点を ${\text{B}}^{\prime }$ ， $\text{AB}$の中点を ${\text{C}}^{\prime }$ とすると， 3つの中線は 線分 $\text{A} {\text{A}}^{\prime }$ ， 線分 $\text{B} {\text{B}}^{\prime }$ ， 線分 $\text{C} {\text{C}}^{\prime }$ である． 線分 $\text{A} {\text{A}}^{\prime }$ と 線分 $\text{B} {\text{B}}^{\prime }$ の交点を 点 $\text{P}$ ， 線分 $\text{A} {\text{A}}^{\prime }$ と 線分 $\text{C} {\text{C}}^{\prime }$ の交点を 点 $\text{Q}$ ， 線分 $\text{B} {\text{B}}^{\prime }$ と 線分 $\text{C} {\text{C}}^{\prime }$ の交点を 点 $\text{R}$ とする． 証明は，点 $\text{P}$ ，点 $\text{Q}$ ，点 $\text{R}$ が一致することを示せばよい．

■答

三角形 $\text{ABC}$ の角頂点 $\text{A}$ ， $\text{B}$ ， $\text{C}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ とし．位置ベクトルの始点を点 $\text{O}$ とする．

●点 $\text{P}$ を位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ で表す

点 $\text{P}$ は中線 $\text{A} {\text{A}}^{\prime }$ 上にあることより

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{A}\text{P}}}$

${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OA}}+s\overrightarrow{\text{A}{\text{A}}^{\prime }}}$ （ $s$ は定数）

${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OA}}+s\left(\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{O}{\text{A}}^{\prime }}\right)}$

${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OA}}+s\left(-\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{O}{\text{A}}^{\prime }}\right)}$

${\displaystyle =\overrightarrow{a}+s\left\{-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\left(1-s\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}s\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}s\overrightarrow{c}}$　･･････(1)

点 $\text{P}$ は中線 $\text{B} {\text{B}}^{\prime }$ 上でもあることより

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{B}\text{P}}}$

${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OB}}+t\overrightarrow{\text{B}{\text{B}}^{\prime }}}$ （ $t$ は定数）

${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OA}}+t\left(\overrightarrow{\text{BO}}+\overrightarrow{\text{O}{\text{B}}^{\prime }}\right)}$

${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OB}}+t\left(-\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{O}{\text{B}}^{\prime }}\right)}$

${\displaystyle =\overrightarrow{b}+s\left\{-\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right)\right\}}$

${\displaystyle {\displaystyle =\left(1-s\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}s\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}s\overrightarrow{c}}}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}1-s=\frac{1}{2}t\cdots \cdots (3)\\ \frac{1}{2}s=1-t\cdots \cdots (4)\\ \frac{1}{2}s=\frac{1}{2}t\cdots \cdots (5)\end{array}\right.}$

となる連立方程式が得られる．

(5)より

$s=t$　･･････(6)

(6)を(3)に代入する．

${\displaystyle 1-t=\frac{1}{2}t}$

${\displaystyle -\frac{3}{2}t=-1}$

${\displaystyle t=\frac{2}{3}}$　･･････(7)

(6)を(4)に代入する．

${\displaystyle 1-s=\frac{1}{2}s}$

${\displaystyle -\frac{3}{2}s=-1}$

${\displaystyle s=\frac{2}{3}}$　･･････(8)

(7)，(8)は(6)を満たしている．以上より連立方程式の解は

${\displaystyle s=t=\frac{2}{3}}$　･･････(9)

となる．

(9)を(1)に代入すると

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}}$${\displaystyle =\left(1-\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\overrightarrow{c}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$　･･････(10)

●点 $\text{Q}$ を位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ で表す

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}}$ と同様にして${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}}$ を位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ を用いて表すと

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$　･･････(11)

となる．

●点 $\text{R}$ を位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ で表す

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}}$ と同様にして${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}}$ を位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ を用いて表すと

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$　･･････(12)

となる．

●(10)，(11)，(12)より

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OQ}}=\overrightarrow{\text{OR}}}$

となり，三角形 $\text{ABC}$の各頂点 $\text{A}$ ， $\text{B}$ ， $\text{C}$ と各対辺の中点のを結ぶ3つの線分(中線)は1点で交わる．

この交点のことを重心といい，(9)の ${\displaystyle s=t=\frac{2}{3}}$ より

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\text{A}{\text{A}}^{\prime }}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{BQ}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\text{B}{\text{B}}^{\prime }}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{CR}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\text{C}{\text{C}}^{\prime }}}$

よって，重心は中線を ${\displaystyle 2:1}$ に内分する．

　

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最終更新日： 2024年12月3日