ベクトルに関する問題

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1. 基本問題
   1. 
      図の ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ を成分表示で表し，そのベクトル大きさを求めよ．⇒解答
   2. ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(-2,3\right)}$ のとき， ${\displaystyle 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}$ を求めよ．また， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(-13,3\right)}$ を ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を用いて表せ．⇒解答*
   3. ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,3\right)}$ をベクトルの始点を中心として反時計回りに60°回転したベクトルを求めよ．⇒解答*
   4. ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,3\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(4t+3,2t-1\right)}$ とする．

      [1] $t$ が ${\displaystyle -\infty }$ から ${\displaystyle +\infty }$ に変化したとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点の軌跡は直線を描く．どのような直線か答よ．

      [2] ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が平行な関係になるときの $t$ の値を求めよ．

      [3] ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が垂直な関係になるときの $t$ の値を求めよ

      ⇒解答*
   5. 点 ${\displaystyle \left(3,2\right)}$ と直線 ${\displaystyle \left(x,y\right)=t\left(1,2\right)+\left(0,1\right)}$ の距離を求めよ． $t$ は媒介変数である．⇒解答*
   6. △ $\text{OAB}$ において，線分 $\text{OA}$ を $2:1$ に内分する点を点 $\text{C}$ ， $\text{OB}$ を $4:1$ に外分する点を点 $\text{D}$ ， $\text{OB}$ を $1:2$ に内分する点を点 $\text{Ｅ}$ とする．線分 $\text{AE}$ と線分 $\text{CD}$ の交点を点 $\text{P}$ とする． ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{b}}$ とおくとき， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}}$ を ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を用いて表せ．⇒解答
2. 平面上のベクトル
   1. p平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,3)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(2,4)}$ の内積を求めよ．　⇒解答*
   2. 平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(\sqrt{5}-1,\sqrt{3})}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(\sqrt{5}+1,-\sqrt{3})}$ の内積を求めよ．　⇒解答
   3. 平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(3,1\right)}$ のなす角を求めよ．　⇒解答*
   4. 平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(5,0\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(-1,\sqrt{3}\right)}$ のなす角を求めよ．　⇒解答
   5. ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2\right)}$ とするとき， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}}$ が直交するような ${\displaystyle t}$ を求めよ．　⇒解答*
   6. ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(5,0\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(t-6,t^2\right)}$ とするとき， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ が直交するような ${\displaystyle t}$ を求めよ．　⇒解答
   7. ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(-4,3)}$ に垂直な単位ベクトルを求めよ． ⇒解答*
   8. 三角形 $\text{ABC}$ の頂点 $\text{A}$ ， $\text{B}$ ， $\text{C}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ とする． この三角形 $\text{ABC}$ の重心 $\text{G}$ の位置を ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ を用いて表せ． ⇒解答
   9. 三角形 $\text{ABC}$ の各頂点 $\text{A}$ ， $\text{B}$ ， $\text{C}$ と各対辺の中点のを結ぶ3つの線分(中線)は1点で交わることを示せ．　⇒解答
   10. 三角形 $\text{ABC}$ の辺 $\text{BC}$ の中点を $\text{M}$ とすると

       ${\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{AC}}^{\text{2}}=2\left({\text{AM}}^{\text{2}}+{\text{BM}}^{\text{2}}\right)$

       が成り立つ(中線定理)ことを，ベクトルを用いて証明せよ．　⇒解答
   11. ２つの直線 ${\displaystyle y=m_{1}x+n_1}$ と ${\displaystyle y=m_{2}x+n_2}$ （ $m_1$ ， $n_1$ ， $m_2$ ， $n_2$ は定数）が直交するとき， $m_1$ ， $m_2$ の間にどのような関係があるか，方向ベクトルを用いて求めよ．　⇒解答
3. 空間におけるベクトル
   1. 空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,2,2)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(2,1,2)}$ の内積を求めよ．　⇒解答*
   2. 空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(4,1,1)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(1,4,1)}$ のなす角を求めよ．　⇒解答*
   3. 空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,1,\sqrt{2})}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(1,2,\sqrt{3})}$ のなす角を ${\displaystyle \theta }$ とするとき， ${\displaystyle cos\theta }$ 求めよ．　⇒解答
   4. ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(4,3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(2,-1,1\right)}$ のベクトルの外積 ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}$ を求めよ．　⇒解答*
   5. ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(4,1,3\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(2,-1,2\right)}$ の外積 ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$ を求めよ．　⇒解答
   6. ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(5,3,-2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,-1,-4\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(-6,2,-3\right)}$ の外積 ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$ を求めよ．　⇒解答
   7. ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(4,1,3\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(2,-1,2\right)}$ の外積 ${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}}$ を求めよ．　⇒解答*
   8. ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(4,1,3\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(2,-1,2\right)}$ の外積 ${\displaystyle {\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)}}$ を求めよ．　⇒解答*
   9. 原点と空間上の２点 $\text{A}\left(4,3,1\right)$ ， $\text{B}\left(2,1,2\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．　⇒解答*
   10. 空間上の3点 $\text{A}\left(4,1,3\right)$ ， $\text{B}\left(1,2,1\right)$ ， $\text{C}\left(2,-1,2\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．　⇒解答*

 

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学生スタッフ
最終更新日： 2026年5月26日