外積の計算

■問題

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(5,3,-2\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,-1,-4\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(-6,2,-3\right)}$ の外積 ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle \overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})}$${\displaystyle =(-19,45,20)}$

■ヒント

はじめに， ${\displaystyle \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}$ を計算してから外積の計算をする．

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(a_x,a_y,a_z\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(b_x,b_y,b_z\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(c_x,c_y,c_z\right)}$ とする．

${\displaystyle \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}$を計算すると

${\displaystyle \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(-5,1,-7\right)}$

となる．

求める外積成分は

${\displaystyle a_y(b_z+c_z)-a_z(b_y+c_y)}$${\displaystyle =3\times \left(-7\right)-\left(-2\right)\times 1=-19}$

${\displaystyle a_z(b_x+c_x)-a_x(b_z+c_z)}$${\displaystyle =\left(-2\right)\times \left(-5\right)-5\times \left(-7\right)=45}$

${\displaystyle a_x(b_y+c_y)-a_y(b_x+c_x)}$${\displaystyle =5\times 1-3\times \left(-5\right)=20}$

よって，求める外積は

${\displaystyle \overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})}$${\displaystyle =(5,3,-2)\times (-5,1,-7)}$${\displaystyle =(-19,45,20)}$

となる．

■別解

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月16日