外積の計算

■問題

$\vec{a} = (5, 3, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 1, - 4)$ ， $\vec{c} = (- 6, 2, - 3)$

の外積 $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})$ を求めよ．

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})$ $= (- 19, 45, 20)$

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})$ を以下のように展開してから計算を進める．

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

$\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ ， $\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ ， $\vec{c} = (c_{x}, c_{y}, c_{z})$ のとき

$\vec{a} \times \vec{b}$ $= (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})$

$\vec{a} \times \vec{c}$ $= (a_{y} c_{z} - a_{z} c_{y}, a_{z} c_{x} - a_{x} c_{z}, a_{x} c_{y} - a_{y} c_{x})$

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})$ を展開すると

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

となる．

はじめに， $\vec{a} \times \vec{b}$ を求める．

$a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y} = 3 \times (- 4) - (- 2) \times (- 1)$ $= - 14$

$a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z} = (- 2) \times 1 - 5 \times (- 4)$ $= 18$

$a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} = 5 \times (- 1) - 3 \times 1$ $= - 8$

次に， $\vec{a} \times \vec{c}$ を求める．

$a_{y} c_{z} - a_{z} c_{y} = 3 \times (- 3) - (- 2) \times 2$ $= - 5$

$a_{z} c_{x} - a_{x} c_{z} = (- 2) \times (- 6) - 5 \times (- 3)$ $= 27$

$a_{x} c_{y} - a_{y} c_{x} = 5 \times 2 - 3 \times (- 6)$ $= 28$

よって，求める外積は，

$\vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

$= (- 14, 18, - 8) + (- 5, 27, 28)$

$= (- 19, 45, 20)$

となる．

学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月16日