外積の計算

■問題

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(4,1,3\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2,1\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(2,-1,2\right)}$ の外積 ${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}=(5,24,7)}$

■ヒント

${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)}$ の部分から計算する．

■解説

${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)}$ を計算すると

${\displaystyle a_y\times b_z-a_z\times b_y=1\times 1-3\times 2=-5}$

${\displaystyle a_z\times b_x-a_x\times b_z=3\times 1-4\times 1=-1}$

${\displaystyle a_x\times b_y-a_y\times b_x=4\times 2-1\times 1=7}$

よって 

${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)=(-5,-1,7)}$

となり，求める外積成分は

${\displaystyle \left(a_y\times b_y\right)\times c_z-\left(a_z\times b_z\right)\times c_y}$$=\mathrm{(-1)}\times 2-7\times \left(-1\right)=5$

${\displaystyle \left(a_z\times b_z\right)\times c_x-\left(a_x\times b_x\right)\times c_z}$$=7\times 2-\left(-5\right)\times 2=24$

${\displaystyle \left(a_x\times b_x\right)\times c_y-\left(a_y\times b_y\right)\times c_x}$$=\left(-5\right)\times \left(-1\right)-\mathrm{(-1)}\times 2=7$

よって，求める外積は

${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}=(5,24,7)}$　･･････(1)

となる．

●参考

${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)}}=\left(-5,35,-5\right)}$ （計算はここを参照） 　･･････(2)

(1)，(3)より外積では結合法則は成り立たないことが分かる．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年12月9日