外積の計算

■問題

$\vec{a} = (4, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (2, - 1, 2)$ の外積 $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$ を求めよ．

$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (5, 24, 7)$

$(\vec{a} \times \vec{b})$ の部分から計算する．

$(\vec{a} \times \vec{b})$ を計算すると

$a_{y} \times b_{z} - a_{z} \times b_{y} = 1 \times 1 - 3 \times 2 = - 5$

$a_{z} \times b_{x} - a_{x} \times b_{z} = 3 \times 1 - 4 \times 1 = -1$

$a_{x} \times b_{y} - a_{y} \times b_{x} = 4 \times 2 - 1 \times 1 = 7$

よって

$(\vec{a} \times \vec{b}) = (- 5, -1, 7)$

となり，求める外積成分は

$(a_{y} \times b_{y}) \times c_{z} - (a_{z} \times b_{z}) \times c_{y}$ $= (-1) \times 2 - 7 \times (- 1) = 5$

$(a_{z} \times b_{z}) \times c_{x} - (a_{x} \times b_{x}) \times c_{z}$ $= 7 \times 2 - (- 5) \times 2 = 24$

$(a_{x} \times b_{x}) \times c_{y} - (a_{y} \times b_{y}) \times c_{x}$ $= (- 5) \times (- 1) - (-1) \times 2 = 7$

よって，求める外積は

$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (5, 24, 7)$ ･･････(1)

となる．

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (- 5, 35, - 5)$ （計算はここを参照）　･･････(2)

(1)，(2)より外積では結合法則は成り立たないことが分かる．

学生スタッフ
最終更新日： 2026年3月10日