外積の計算

■問題

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(4,1,3\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(2,-1,2\right)}$ の外積 ${\displaystyle {\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)}}$ を求めよ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)}}=\left(-5,35,-5\right)}$

■ヒント

${\displaystyle \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)}$ の部分を優先して計算する．

■解説

${\displaystyle \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)}$ を計算すると

${\displaystyle b_y\times c_z-b_z\times c_y=2\times 2-1\times \left(-1\right)}$ ${\displaystyle =5}$

${\displaystyle b_z\times c_x-b_x\times c_z=1\times 2-1\times 2=0}$

${\displaystyle b_x\times c_y-b_y\times c_x=1\times \left(-1\right)-2\times 2}$ ${\displaystyle =-5}$

よって 

${\displaystyle \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)=\left(5,0,-5\right)}$

となり，求める外積成分は

${\displaystyle a_y\times (b_z\times c_z)-a_z\times (b_y\times c_y)}$ ${\displaystyle =1\times \left(-5\right)-3\times 0=-5}$

${\displaystyle a_z\times (b_x\times c_x)-a_x\times (b_z\times c_z)}$ ${\displaystyle =3\times 5-4\times (-5)=35}$

${\displaystyle a_x\times (b_y\times c_y)-a_y\times (b_x\times c_x)}$ ${\displaystyle =4\times 0-1\times 5=-5}$

よって，求める外積は

${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)}}=\left(-5,35,-5\right)}$ ･･････(1)

となる．

●参考

${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}=(5,24,7)}$ （計算はここを参照） 　･･････(2)

(1)，(3)より外積では結合法則は成り立たないことが分かる．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年4月18日