垂直な単位ベクトル

■問題

${\displaystyle \overrightarrow{a}=(-4,3)}$に垂直な単位ベクトルを求めよ．

■答

${\displaystyle \pm \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)}$

■ヒント

ベクトル${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が垂直ならば，  なす角が90°なので

${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos 90°=0}$

となる．

また

垂直な単位ベクトルは互いに逆向きの2つのベクトルになる．

■解説

求める単位ベクトルを${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(m,n\right)}$ とする．大きさは ${\displaystyle 1}$なので  

${\displaystyle \sqrt{m^2+n^2}=1}$

${\displaystyle m^2+n^2=1}$　･･････(1)

また 

${\displaystyle \overrightarrow{a·}\overrightarrow{b}=-4m+3n=0}$

${\displaystyle m=\frac{3}{4}n}$　･･････(2)

(2)を(1)に代入すると 

${\displaystyle {\left(\frac{3}{4}n\right)}^2+n^2=1}$

${\displaystyle n^2=\frac{16}{25}}$ 

よって

${\displaystyle n=\pm \frac{4}{5}}$，${\displaystyle m=\frac{3}{4}·\left(\pm \frac{4}{5}\right)=\pm \frac{3}{5}}$

以上より 

${\displaystyle \overrightarrow{b}=\pm \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)}$

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月16日