2つのベクトルのなす角

ベクトルを平行移動し一方のベクトルの始点を他方のベクトルの始点に重ねた場合に2つのベクトルで作られる角度の180°以下となる方の角度を2つのベクトルのなす角という．（下図を参照のこと）

2つのベクトルのなす角の余弦の値はベクトルの内積の定義より以下のようになる．

■平面ベクトルの場合（2次元の場合）　

$\vec{a} = (a_{1}, a_{2})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2})$ とし， $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $θ$ $(0 ≦ θ ≦ 180 °)$ とすると（ただし， $\vec{a} \neq \vec{0}$ ， $\vec{b} \neq \vec{0}$ ）

$cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$ $= \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$

■空間ベクトルの場合（3次元の場合）　

$\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ とし， $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $θ$ $(0 ≦ θ ≦ 180 °)$ とすると（ただし， $\vec{a} \neq \vec{0}$ ， $\vec{b} \neq \vec{0}$ ）

$cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$ $= \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2}} \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2} + {b_{3}}^{2}}}$

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最終更新日： 2026年9月18日