ベクトルのなす角の計算

ベクトルに関する問題

■問題

三角形 ABC の辺 BC の中点を M とすると

AB 2 + AC 2 = 2 ( AM 2 + BM 2 )

が成り立つ(中線定理)ことを，ベクトルを用いて証明せよ．

■ヒント

以下の関係を参考にするとよい．

AB 2 = AB → 2 = AB → ⋅ AB →

■答

AM 2 = AM → 2

= AM → ⋅ AM →

点 M は辺 BC の中点であることより，辺 BC を 1:1 に内分する．よって

AM → = 1 2 AB → + AC →

= 1 2 AB → + AC → ⋅ 1 2 AB → + AC →

= 1 4 AB → + AC → ⋅ AB → + AC →

= 1 4 AB → + AC → ⋅ AB → + AB → + AC → ⋅ AC →

= 1 4 AB → ⋅ AB → + AC → ⋅ AB → + AB → ⋅ AC → + AC → ⋅ AC →

= 1 4 AB → 2 +2 AC → ⋅ AB → + AC → 2

= 1 4 AB 2 +2 AC → ⋅ AB → + AC 2 　･･････(1)

BM 2 = BM → 2

BM → = BA → + AM → =− AB → + 1 2 AB → + AC → = 1 2 AC → − AB →

= 1 2 AC → − AB → ⋅ 1 2 AC → − AB →

= 1 4 AC → − AB → ⋅ AC → − AB →

= 1 4 AC → − AB → ⋅ AC → − AC → − AB → ⋅ AB →

= 1 4 AC → ⋅ AC → − AB → ⋅ AC → − AC → ⋅ AB → + AC → ⋅ AB →

= 1 4 AC → 2 −2 AC → ⋅ AB → + AB → 2

= 1 4 AC 2 −2 AC → ⋅ AB → + AB 2 　･･････(2)

(1)，(2)より

AM 2 + BM 2

= 1 4 AB 2 +2 AC → ⋅ AB → + AC 2 + 1 4 AC 2 −2 AC → ⋅ AB → + AB 2

= 1 2 AB 2 + AC 2

したがって

AB 2 + AC 2 = 2 ( AM 2 + BM 2 )

が得られる．

　

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最終更新日： 2024年12月3日