線分をｍ：ｎに内分する点の位置ベクトル

点 $\text{R}$ が線分 $\text{PQ}$ を $m:n$ の比に内分（点 $\text{R}$ が線分 $\text{PQ}$ 上にあり $\text{PR}:\text{QR}=m:n$ となる）するとき， ${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OR}}}$ を${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OP}}=\overrightarrow{p}}$ ，${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OQ}}=\overrightarrow{q}}$ を用いて表すと

${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OR}}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{p}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{q}}$

となる．

$\overrightarrow{p}$ ， $\overrightarrow{q}$ はそれぞれ点 $\text{P}$ ， $\text{Q}$ の位置ベクトルになる．

■導出

${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OR}}}$${\displaystyle =\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\stackrel{⟶}{\text{PR}}}$

${\displaystyle =\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\frac{m}{m+n}\stackrel{⟶}{\text{PQ}}}$

${\displaystyle =\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\frac{m}{m+n}\left(\stackrel{⟶}{\text{PO}}+\stackrel{⟶}{\text{OQ}}\right)}$

${\displaystyle =\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\frac{m}{m+n}\left(-\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\stackrel{⟶}{\text{OQ}}\right)}$

${\displaystyle =\left(1-\frac{m}{m+n}\right)\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\frac{m}{m+n}\stackrel{⟶}{\text{OQ}}}$

${\displaystyle =\frac{n}{m+n}\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\frac{m}{m+n}\stackrel{⟶}{\text{OQ}}}$

${\displaystyle =\frac{n}{m+n}\overrightarrow{p}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{q}}$

　

あるいは，線分 $\text{OQ}$ 上に点${\displaystyle {\text{Q}}^{\prime }}$ を${\displaystyle \text{OP}\text{//}{\text{Q}}^{\prime }\text{R}}$ に成るように，線分 $\text{OP}$ 上に点${\displaystyle {\text{P}}^{\prime }}$ を${\displaystyle \text{OQ}\text{//}{\text{P}}^{\prime }\text{R}}$ に成るようにとると

${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OR}}}$${\displaystyle =\stackrel{⟶}{{\text{OP}}^{\prime }}+\stackrel{⟶}{{\text{OQ}}^{\prime }}}$

${\displaystyle =\frac{n}{m+n}\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\frac{m}{m+n}\stackrel{⟶}{\text{OQ}}}$

${\displaystyle =\frac{n}{m+n}\overrightarrow{p}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{q}}$

となり，同じ結果になる．（図参照）

 

　

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最終更新日 2024年12月9日