中線定理

三角形 ABC の辺 BC の中点を M とすると

AB 2 + AC 2 =2( AM 2 + BM 2 )

である.

■証明

三平方の定理より

AB 2 + AC 2

= ( BH 2 + AH 2 ) + ( CH 2 + AH 2 )

= BH 2 + CH 2 + 2 AH 2

一方

BH 2 + CH 2

= ( BM + MH ) 2 + ( CM MH ) 2

= BM 2 +2BMMH+ MH 2 + CM 2 2CMMH+ MH 2

= 2 BM 2 + 2 MH 2

( BM = CM )

したがって

AB 2 + AC 2 =2 BM 2 +2 MH 2 +2 AH 2

=2 BM 2 +2 MH 2 + AH 2

=2 BM 2 +2 AM 2

(∵三平方の定理より, MH 2 + AH 2 = AM 2

 

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最終更新日: 2023年10月3日