三平方の定理（ピタゴラスの定理）

${\displaystyle \angle \text{ACB}=90°}$ となる直角三角形$\text{ABC}$ において，各辺の長さを，${\displaystyle \text{BC}=a}$，${\displaystyle \text{CA}=b}$ ，${\displaystyle \text{AB}=c}$ とすると

${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$  

の関係が成り立つ．この関係を三平方の定理あるいはピタゴラスの定理という．

■証明

△$\text{ABC}$ において，辺$\text{BC}$ を一辺と知る正方形$\text{CBDE}$ を描き，同じく辺$\text{AC}$ を一辺とする正方形$\text{ACGH}$ を下図の左側のように描く．直線$\text{ED}$ と直線$\text{GH}$ の交点を$\text{F}$ とし，直線$\text{FG}$ と直線$\text{AB}$ の交点を$\text{I}$ とする．

　

まず，直線$\text{AB}$ と直線$\text{IF}$ の関係を調べる．

四角形$\text{CEFG}$ は長方形で，${\displaystyle \text{CE}=a}$，${\displaystyle \text{EF}=b}$，${\displaystyle \angle \text{CEF}=90°}$ となる．

よって

△$\text{FCE}$ ≡△$\text{ABC}$ 　（∵2辺とその間の角が等しい）

次に，${\displaystyle \angle \text{AIC}}$ について考える．

${\displaystyle \angle \text{ECF}=\angle \text{ICA}}$ 　（∵対角は等しい），${\displaystyle \angle \text{ECF}=\angle \text{CBA}}$ 　（△$\text{FCE}$ ≡△$\text{ABC}$ ）より

${\displaystyle \angle \text{ICA}=\angle \text{CBA}}$

よって

△$\text{ABC}$ ∽△$\text{ACI}$ 　（∵2角が等しい）

以上より

${\displaystyle \angle \text{AIC}=90°}$

次に，面積が保たれる変形を繰り返すことにより，定理を証明する．

正方形$\text{BCED}$の面積＝平行四辺形$\text{BCFJ}$ の面積　（∵$\text{BC}$ 共通で高さが同じ）　･･････(1)

正方形$\text{ACGH}$ の面積＝平行四辺形$\text{ACFK}$ の面積　（∵$\text{AC}$ 共通で高さが同じ）　･･････(2)

さらに

平行四辺形$\text{BCFJ}$ の面積＝長方形$\text{BILJ}$ の面積　（∵$\text{BJ}$ 共通で高さが同じ）　　･･････(3)

平行四辺形$\text{ACFK}$ の面積＝長方形$\text{AILK}$ の面積　（∵$\text{AK}$ 共通で高さが同じ）　　･･････(4)

(1)，(2)，(3)，(4)より

四角形$\text{ABJK}$ の面積＝正方形$\text{BCED}$ の面積＋正方形$\text{ACGH}$ の面積　･･････(5)

一方

${\displaystyle \text{JD}=\text{FE}=\text{AC}}$ ，${\displaystyle \text{BD}=\text{BC}}$ ，${\displaystyle \angle \text{ACB}=\angle \text{JDB}=90°}$ より△$\text{ABC}$ ≡△$\text{JBD}$

よって

${\displaystyle \text{JB}=\text{AB}=c}$

となり

四角形$\text{ABJK}$ は正方形　･･････(6)

となる．(5)，(6)より

正方形$\text{ABJK}$ の面積＝正方形$\text{BCED}$ の面積＋正方形$\text{ACGH}$ の面積

となる．すなわち

${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$  

となる．

三平方の定理の証明は，この他にもいろいろな方法がる．

 

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最終更新日： 2023年10月2日