平面における直線の方程式

■法線ベクトルを用いた場合

点 $\text{Q}$ ${\displaystyle \left(x_0,y_0\right)}$ を通り，法線ベクトルが ${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(a,b\right)}$ の直線の方程式は

${\displaystyle a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0}$ ･･････(1)

と表される．また，直線の方程式は一般に

${\displaystyle ax+by+c=0}$ 　(一般形)　･･････(2)

と表される．(2)のとき，直線の法線ベクトルは ${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(a,b\right)}$ となる．

⇒導出

■方向ベクトルを用いた場合

点 $\text{Q}$ $\left(x_0,y_0\right)$ を通り，方向ベクトルが $\overrightarrow{d}=\left(l,m\right)$ の直線の方程式は

${\displaystyle \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}}$ ･･････(3)

と表わされる．また，媒介変数（パラメーター） $t$ を用いて表すと

$x=x_0+tl$ ， $y=y_0+tm$ ･･････(4)

と表される．このような直線の方程式の表現方法を媒介変数表示という．

⇒導出

●点 ${\displaystyle \text{Q}\left(x_0,y_0\right)}$ を通り，直線の傾きが $a$ である直線の方程式

${\displaystyle y-y_0=a\left(x-x_0\right)}$ ･･････(5)

⇒導出

●直線の傾きが $a$ で， $y$ 切片が $b$ である直線の方程式

${\displaystyle y=ax+b}$ ･･････(6)

⇒導出（1次関数を参照）

●2点， ${\displaystyle \text{Q}\left(x_0,y_0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{R}\left(x_1,y_1\right)}$ を通りる直線の方程式

${\displaystyle y-y_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\left(x-x_0\right)}$ ･･････(7)

⇒導出

● $x$ 切片が $a$ ， $y$ 切片が $b$ である直線の方程式

${\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}$ ･･････(8)

⇒導出

　

■(1), (2)の導出

座標平面における直線は，座標平面中の点と直線に垂直な法線ベクトルが決まれば，一意的に決まる．直線上の点 $\text{Q}$ の座標を ${\displaystyle \left(x_0,y_0\right)}$ ，法線ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(a,b\right)}$ とし，直線上の任意の点 $\text{P}$ の座標を ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ とすると，ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{\text{QP}}=\left(x-x_0,y-y_0\right)}$ は直線上にある． ${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ は直線の法線ベクトルなので， ${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ と ${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{QP}}}$ のなす角は90°である．よって内積が $0$ ( ゼロ ) となるので

${\displaystyle \overrightarrow{n}·\stackrel{⟶}{\text{QP}}=0}$ ･･････(9)

となる．この関係から

${\displaystyle \left(a,b\right)·\left(x-x_0,y-y_0\right)=0}$

${\displaystyle a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0}$ ･･････(1)

となり，直線の方程式が求まる．

(1)の左辺を展開し整理する．

${\displaystyle ax-a{x}_0+by-b{y}_0=0}$

${\displaystyle ax+by-a{x}_0-b{y}_0=0}$ ･･････(10)

ここで

${\displaystyle c=-a{x}_0-b{y}_0}$

とおき，(10)に代入すると，一般形

${\displaystyle ax+by+c=0}$ ･･････(2)

が得られる．

◇備考

点 $\text{Q}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(x_0,y_0\right)}$ ，点 $\text{P}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(x,y\right)}$ とすると

${\displaystyle \overrightarrow{\text{QP}}=\overrightarrow{\text{QO}}+\overrightarrow{\text{OP}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle =-\overrightarrow{\text{OQ}}+\overrightarrow{\text{OP}}}}$ ${\displaystyle =-\overrightarrow{q}+\overrightarrow{p}}$ ${\displaystyle =\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}}$

となり，(9)は

${\displaystyle \overrightarrow{n}\cdot \left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}\right)=0}$ （ ${\displaystyle \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}}$ ） ･･････(11)

と書き換えられる．これは，内積を用いた直線のベクトル方程式になる．

■(3), (4)の導出

直線は，座標平面中の点と方向ベクトルが決まれば，一意的に決まる．空間中の点 $\text{Q}$ の座標を ${\displaystyle \left(x_0,y_0\right)}$ ，方向ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{d}=\left(l,m\right)}$  とし，直線上の点 $\text{P}$ の座標を ${\displaystyle \left(x,y\right)}$  とすると

${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{QP}}=t\overrightarrow{d}}$   （ t は実数の変数）

となるので

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OQ}}+\overrightarrow{\text{QP}}}$ ${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OQ}}+t\overrightarrow{d}}$ ･･････(12)

表すことができる．これをベクトルの成分表示で表すと

${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(x_0,y_0\right)+t\left(l,m\right)}$

あるいは

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=x_0+tl\\ y=y_0+tm\end{array}}$ ･･････(4)

となり，媒介変数 ${\displaystyle t}$ を用いた直線の方程式が求まる．次に媒介変数 ${\displaystyle t}$ の消去を図る．

${\displaystyle \begin{array}{lll}x=x_0+tl\hfill & \to \hfill & t={\displaystyle \frac{x-x_0}{l}}\hfill \\ y=y_0+tm\hfill & \to \hfill & t={\displaystyle \frac{y-y_0}{m}}\hfill \end{array}}$

となり， t を消去すると

${\displaystyle \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}}$ ･･････(3)

となる．このように直線の方程式が求まる．

(3)を以下のように式変形をする．

${\displaystyle \frac{x-x_0}{l}-\frac{y-y_0}{m}=0}$

${\displaystyle \frac{1}{l}\left(x-x_0\right)-\frac{1}{m}\left(y-y_0\right)=0}$

ここで

${\displaystyle \frac{1}{l}=a}$ ， ${\displaystyle -\frac{1}{m}=b}$

とおくと，(1)が得られる．

◇備考

点 $\text{Q}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(x_0,y_0\right)}$ ，点 $\text{P}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(x,y\right)}$ とすると

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{p}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=\overrightarrow{q}}$

となり，(12)は

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{d}}$ （ ${\displaystyle \overrightarrow{d}\ne \overrightarrow{0}}$ ） ･･････(13)

と書き換えられる．これは，方向ベクトルを用いた直線のベクトル方程式になる．

■(5)の導出

(3)より(5)を導出する．

方向ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{d}=\left(l,m\right)}$ より，直線の傾き $a$ は

${\displaystyle a=\frac{m}{l}}$ ･･････(14)

である．(3)を式変形すると

${\displaystyle y-y_0=\frac{m}{l}\left(x-x_0\right)}$ ･･････(15)

となる．(14)と(15)より(5)が導かれる．

■(6)の導出

$y$ 切片が $b$ より，点 ${\displaystyle \left(0,b\right)}$ を通ることになる．(5)にこの条件を適用すると

${\displaystyle y-b=a\left(x-0\right)}$

${\displaystyle y=ax+b}$ ･･････(6)

となり，(6)が導かれる．

■(7)の導出

2点， ${\displaystyle \text{Q}\left(x_0,y_0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{R}\left(x_1,y_2\right)}$ を通ることより，直線の傾き $a$ は

${\displaystyle a=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}$ ･･････(17)

となる．(17)を(5)に代入すると，(7)が得られる．

◇備考

点 $\text{Q}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(x_0,y_0\right)}$ ，点 $\text{R}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(x_1,y_1\right)}$ とし，直線上の点 $\text{P}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(x,y\right)}$ とする．

この場合，方向ベクトルは

${\displaystyle \overrightarrow{\text{QR}}=\overrightarrow{\text{QO}}+\overrightarrow{\text{OR}}}$ ${\displaystyle =-\overrightarrow{\text{OQ}}+\overrightarrow{\text{OR}}}$ ${\displaystyle =-\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}}$ ${\displaystyle =\overrightarrow{r}-\overrightarrow{q}}$

となる．(13)を参考にすると

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{q}+t\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{q}\right)}$ ( ${\displaystyle t}$ は実数の変数)

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(1-t\right)\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ･･････(18)

と表すことができる．これは点 $\text{Q}$ ，点 $\text{R}$ を通る直線のベクトル方程式になる．

$1-t=s$ とおくと，(19)は

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ( ${\displaystyle s+t=1}$ )　･･････(20)

と書き換えられる．

■(8)の導出

$x$ 切片が $a$ ， $y$ 切片が $b$ より，2点， ${\displaystyle \left(a,0\right)}$ ， ${\displaystyle \left(0,b\right)}$ を通る．この条件を(7)に適用すると

${\displaystyle y-0=\frac{0-b}{a-0}\left(x-a\right)}$

${\displaystyle y=-\frac{b}{a}\left(x-a\right)}$

${\displaystyle \frac{b}{a}x+y=b}$

${\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}$ ･･････(8)

のように(8)が導かれる．

　

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最終更新日：2025年12月3日