平面における直線の方程式

■法線ベクトルを用いた場合

点$\text{P}$${\displaystyle \left(x_0,y_0\right)}$ を通り，法線ベクトルが ${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(a,b\right)}$の直線の方程式は

${\displaystyle a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0}$　･･････(1)

と表される．また，直線の方程式は一般に

${\displaystyle ax+by+c=0}$　(一般形)　･･････(2)

と表される．(2)のとき，直線の法線ベクトルは${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(a,b\right)}$となる．

⇒導出

■方向ベクトルを用いた場合

点$\text{P}$$\left(x_0,y_0\right)$ を通り，方向ベクトルが $\overrightarrow{d}=\left(l,m\right)$ の直線の方程式は

${\displaystyle \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}}$　･･････(3)

と表わされる．また，媒介変数（パラメーター） $t$を用いて表すと

$x=x_0+tl$ ，$y=y_0+tm$　･･････(4)

と表される．このような直線の方程式の表現方法を媒介変数表示という．

⇒導出

●点${\displaystyle \text{P}\left(x_0,y_0\right)}$ を通り，直線の傾きが $a$ である直線の方程式

${\displaystyle y-y_0=a\left(x-x_0\right)}$　･･････(5)

⇒導出

●直線の傾きが $a$ で， $y$ 切片が $b$ である直線の方程式

${\displaystyle y=ax+b}$　･･････(6)

⇒導出（1次関数を参照）

●2点， ${\displaystyle \text{P}\left(x_0,y_0\right)}$，${\displaystyle \text{Q}\left(x_1,y_1\right)}$ を通りる直線の方程式

${\displaystyle y-y_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\left(x-x_0\right)}$　･･････(7)

⇒導出

●$x$ 切片が $a$ ，$y$ 切片が $b$ である直線の方程式

${\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}$　･･････(8)

⇒導出

　

■(1), (2)の導出

座標平面における直線は，座標平面中の点と直線に垂直な法線ベクトルが決まれば，一意的に決まる．直線上の点$\text{P}$の座標を ${\displaystyle \left(x_0,y_0\right)}$ ，法線ベクトルを${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(a,b\right)}$とし，直線上の任意の点$\text{Q}$の座標を${\displaystyle \left(x,y\right)}$とすると，ベクトル${\displaystyle \overrightarrow{\text{PQ}}=\left(x-x_0,y-y_0\right)}$ は直線上にある．${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ は直線の法線ベクトルなので，${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ と${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{PQ}}}$ のなす角は90°である．よって内積が $0$ (ゼロ) となるので

${\displaystyle \overrightarrow{n}·\stackrel{⟶}{\text{PQ}}=0}$   

となる．この関係から

${\displaystyle \left(a,b\right)·\left(x-x_0,y-y_0\right)=0}$

${\displaystyle a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0}$　･･････(1)

となり，直線の方程式が求まる．

(1)の左辺を展開し整理する．

${\displaystyle ax-a{x}_0+by-b{y}_0=0}$

${\displaystyle ax+by-a{x}_0-b{y}_0=0}$　･･････(9)

ここで

${\displaystyle c=-a{x}_0-b{y}_0}$

とおき，(9)に代入すると，一般形

${\displaystyle ax+by+c=0}$　･･････(2)

が得られる．

■(3), (4)の導出

直線は，座標平面中の点と方向ベクトルが決まれば，一意的に決まる．空間中の点$\text{P}$ の座標を ${\displaystyle \left(x_0,y_0\right)}$ ，方向ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{d}=\left(l,m\right)}$  とし，直線上の点$\text{Q}$ の座標を${\displaystyle \left(x,y\right)}$  とすると

${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{PQ}}=t\overrightarrow{d}}$   （t は媒介変数）

となるので

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=\overrightarrow{\text{OP}}+\overrightarrow{\text{PQ}}}$${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OP}}+t\overrightarrow{d}}$  

表すことができる．これをベクトルの成分表示で表すと

${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(x_0,y_0\right)+t\left(l,m\right)}$

あるいは

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=x_0+tl\\ y=y_0+tm\end{array}}$　･･････(4)

となり，媒介変数を用いた直線の方程式が求まる．次に媒介変数 t の消去を図る．

${\displaystyle \begin{array}{lll}x=x_0+tl\hfill & \to \hfill & t={\displaystyle \frac{x-x_0}{l}}\hfill \\ y=y_0+tm\hfill & \to \hfill & t={\displaystyle \frac{y-y_0}{m}}\hfill \end{array}}$

となり，t を消去すると

${\displaystyle \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}}$　･･････(3)

となる．このように直線の方程式が求まる．

(3)を以下のように式変形をする．

${\displaystyle \frac{x-x_0}{l}-\frac{y-y_0}{m}=0}$

${\displaystyle \frac{1}{l}\left(x-x_0\right)-\frac{1}{m}\left(y-y_0\right)=0}$

ここで

${\displaystyle \frac{1}{l}=a}$ ，${\displaystyle -\frac{1}{m}=b}$

とおくと，(1)が得られる．

■(5)の導出

(3)より(5)を導出する．

方向ベクトル${\displaystyle \overrightarrow{d}=\left(l,m\right)}$より，直線の傾き $a$は

${\displaystyle a=\frac{m}{l}}$　･･････(10)

である．(3)を式変形すると

${\displaystyle y-y_0=\frac{m}{l}\left(x-x_0\right)}$　･･････(11)

となる．(10)と(11)より(5)が導かれる．

■(6)の導出

$y$切片が$b$より，点${\displaystyle \left(0,b\right)}$ を通ることになる．(5)にこの条件を適用すると

${\displaystyle y-b=a\left(x-0\right)}$

${\displaystyle y=ax+b}$　･･････(6)

となり，(6)が導かれる．

■(7)の導出

2点，${\displaystyle \text{P}\left(x_0,y_0\right)}$，${\displaystyle \text{Q}\left(x_1,y_2\right)}$をとおることより，直線の傾き$a$は

${\displaystyle a=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}$　･･････(12)

となる．(12)を(5)に代入すると，(7)が得られる．

■(8)の導出

$x$ 切片が$a$ ，$y$切片が$b$より，2点，${\displaystyle \left(a,0\right)}$ ，${\displaystyle \left(0,b\right)}$ を通る．この条件を(7)に適用すると

${\displaystyle y-0=\frac{0-b}{a-0}\left(x-a\right)}$

${\displaystyle y=-\frac{b}{a}\left(x-a\right)}$

${\displaystyle \frac{b}{a}x+y=b}$

${\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}$　･･････(8)

のように(8)が導かれる．

　

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最終更新日：2024年9月16日