ベクトルのなす角の計算

■問題

空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(4,1,1)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}=(1,4,1)}$ のなす角を求めよ．

■答

${\displaystyle \mathrm{\theta }={60}^{\circ }}$  

■ヒント

${\displaystyle a·b=\left|a\right|\left|b\right|cos\theta }$

内積の定義を利用する． 

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ のなす角を${\displaystyle \theta }$ とすると  

${\displaystyle \cos \text{θ}=\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\left|a\right|\left|b\right|}}$${\displaystyle =\frac{4\times 1+1\times 4+1\times 1}{\sqrt{4^2+1^2+1^2}\times \sqrt{1^2+4^2+1^2}}}$${\displaystyle =\frac{9}{\sqrt{18}\times \sqrt{18}}}$${\displaystyle =\frac{9}{18}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

${\displaystyle {\text{0}}^{\circ }\leqq \theta \le {180}^{\circ }}$ であるから，

${\displaystyle \mathrm{\theta }={60}^{\circ }}$  

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月16日