ベクトル

(******) 2つのベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(-2,3\right)}$ のとき， ${\displaystyle 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}$ を求めよ．また， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(-13,3\right)}$ を ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を用いて表せ．  ⇒ 解答

(******) 点 ${\displaystyle \left(3,2\right)}$ と直線 ${\displaystyle \left(x,y\right)=t\left(1,2\right)+\left(0,1\right)}$ の距離を求めよ． $t$ は媒介変数である．  ⇒ 解答

(******)  ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,3\right)}$ をベクトルの始点を中心として反時計回りに60°回転したベクトルを求めよ．  ⇒ 解答

(******)  ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,3\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(4t+3,2t-1\right)}$ とする．⇒ 解答

(*****) 2つのベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(a_1,a_2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(b_1,b_2\right)}$ の内積に関する次の等式を証明せよ.

${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \theta =a_1{b}_1+a_2{b}_2}$  ⇒ 解答

(*****) 平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(5,0\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(-1,\sqrt{3}\right)}$ のなす角を求めよ．． ⇒ 解答

(*****) 平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,3)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(2,4)}$ の内積を求めよ． ⇒ 解答

(*****) 平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(3,1\right)}$ のなす角を求めよ． ⇒ 解答

(*****) 空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,2,2)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(2,1,2)}$ の内積を求めよ． ⇒ 解答

(*****) 空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(4,1,1)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(1,4,1)}$ のなす角を求めよ． ⇒ 解答

(*****)  ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2\right)}$ とするとき， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}}$ が直交するような ${\displaystyle t}$ を求めよ． ⇒ 解答

(*****)  ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(-4,3)}$ に垂直な単位ベクトルを求めよ． ⇒ 解答

(*****) 空間座標上の3点 ${\displaystyle \text{A}\left(-1,-1,0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(1,3,4\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(3,1,4\right)}$ を頂点とする三角形の面積を求めよ． ⇒ 解答

(*****) 空間座標上の3点 ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(5,0\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(t-6,t^2\right)}$ とするとき， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ が直交するような ${\displaystyle t}$ を求めよ． ⇒ 解答

(****)  ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(4,3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(2,-1,1\right)}$ のベクトルの外積 ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}$ を求めよ． ⇒ 解答

(****)  ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(4,1,3\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(2,-1,2\right)}$ の外積 ${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}}$ を求めよ． ⇒ 解答

(****)  ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(4,1,3\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(2,-1,2\right)}$ の外積 ${\displaystyle {\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)}}$ を求めよ． ⇒ 解答

(****) 原点と空間上の２点 $\text{A}\left(4,3,1\right)$ ， $\text{B}\left(2,1,2\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ． ⇒ 解答

(****) 空間上の3点 $\text{A}\left(4,1,3\right)$ ， $\text{B}\left(1,2,1\right)$ ， $\text{C}\left(2,-1,2\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ． ⇒ 解答

(**) 空間座標上の点 ${\displaystyle \text{A}\left(1,2,1\right)}$ を通り，ベクトル ${\displaystyle \left(2,1,1\right)}$ に平行な直線の方程式を求めよ． ⇒ 解答

(**) 空間上の2点 $\text{A}\left(2,3,1\right)$ ， $\text{B}\left(5,5,3\right)$ を通る直線の方程式を求めよ． ⇒ 解答

(**) 2つの平面 ${\displaystyle x+y+z=6}$ ， ${\displaystyle x-y+5z=4}$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ． ⇒ 解答

(**) ２つの直線 ${\displaystyle y=m_{1}x+n_1}$ と ${\displaystyle y=m_{2}x+n_2}$ （ $m_1$ ， $n_1$ ， $m_2$ ， $n_2$ は定数）が直交するとき， $m_1$ ， $m_2$ の間にどのような関係があるか，方向ベクトルを用いて求めよ． ⇒ 解答

(***) 空間座標上の点 ${\displaystyle \text{A}\left(4,3,2\right)}$ を通り， ${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(2,4,5\right)}$ に垂直な平面の方程式を求めよ． ⇒ 解答

(***) 空間座標上の3点 ${\displaystyle \text{A}\left(2,1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(1,3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(1,-1,2\right)}$ を通る平面の方程式を求めよ． ⇒ 解答

(***) 空間座標上の点 ${\displaystyle \text{A}\left(2,3,-4\right)}$ を通り， ${\displaystyle z}$ 軸 に垂直な平面の方程式を求めよ． ⇒ 解答

(***) 平面 ${\displaystyle 2x-2y+z=5}$ に垂直な大きさ1のベクトルを求めよ． ⇒ 解答

(***) 平面 ${\displaystyle x+2y+4z=21}$ に，原点から垂線を降ろした．その垂線の長さを求めよ． ⇒ 解答

(*) 三角形 $\text{ABC}$ の頂点 $\text{A}$ ， $\text{B}$ ， $\text{C}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ とする． この三角形 $\text{ABC}$ の重心 $\text{G}$ の位置を ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ を用いて表せ．  ⇒ 解答

(*) 三角形 $\text{ABC}$ の各頂点 $\text{A}$ ， $\text{B}$ ， $\text{C}$ と各対辺の中点のを結ぶ3つの線分(中線)は1点で交わることを示せ．  ⇒ 解答

(*) 三角形 $\text{ABC}$ の辺 $\text{BC}$ の中点を $\text{M}$ とすると

${\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{AC}}^{\text{2}}=2\left({\text{AM}}^{\text{2}}+{\text{BM}}^{\text{2}}\right)$

が成り立つ(中線定理)ことを，ベクトルを用いて証明せよ．  ⇒ 解答