三角形の面積を求める問題

■問題

空間上の3点 $\text{A}\left(4,1,3\right)$ ， $\text{B}\left(1,2,1\right)$ ， $\text{C}\left(2,-1,2\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{10}}$

■ヒント

三角形の面積，外積の定義を参考にする．

■解説

●ベクトルの内積を用いた計算

三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とすると

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{{\left|\stackrel{⟶}{\text{AB}}\right|}^2·{\left|\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right|}^2-{\left(\stackrel{⟶}{\text{AB}}·\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right)}^2}}$

この式の内容は三角形の面積に詳しく書いてある

となる．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}=\left(4,1,3\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OB}}=\left(1,2,1\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OC}}=\left(2,-1,2\right)}$

であることより

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(1,2,1\right)-\left(4,1,3\right)}$ ${\displaystyle =\left(-3,1,-2\right)}$

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|}^2={\left(-3\right)}^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}$ ${\displaystyle =9+1+4}$ ${\displaystyle =14}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{OC}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(2,-1,2\right)-\left(4,1,3\right)}$ ${\displaystyle =\left(-2,-2,-1\right)}$

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|}^2={\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}$ ${\displaystyle =4+4+1}$ ${\displaystyle =9}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\left(-3,1,-2\right)\cdot \left(-2,-2,-1\right)}$ ${\displaystyle =-3\cdot \left(-2\right)+1\cdot \left(-2\right)-2\cdot \left(-1\right)}$ ${\displaystyle =6-2+2}$ ${\displaystyle =6}$

となる．よって

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{14\cdot 9-6^2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{9\left(14-4\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{3}{2}\sqrt{10}}$

●ベクトルの外積を用いた計算

外積 ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ の大きさ ${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}$ は， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を2辺とする平行四辺形の面積になる(外積の定義を参照)．よって，三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積 $S$ は

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}$

となる．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ ${\displaystyle =\left(-3,1,-2\right)\times \left(-2,-2,-1\right)}$

${\displaystyle \begin{array}{l}=\left(1\cdot \left(-1\right)-\left(-2\right)\cdot \left(-2\right)\right.\\ ,\left(-2\right)\cdot \left(-2\right)-\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)\\ \left.,\left(-3\right)\cdot \left(-2\right)-1\cdot \left(-2\right)\right)\end{array}}$

${\displaystyle =\left(-5,1,8\right)}$

よって

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(-5\right)}^2+1^2+8^2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{25+1+64}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{90}}$

${\displaystyle =\frac{3}{2}\sqrt{10}}$

となる．

　

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最終更新日： 2024年12月21日