三角形の面積

$Δ ABC$ の面積を $S$ とする

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot sin θ$ ･･････(1)

となる．

ベクトルを用いて表すと

$S = \frac{1}{2} \sqrt{{| \overset{⟶}{AB} |}^{2} \cdot {| \overset{⟶}{AC} |}^{2} - {(\overset{⟶}{AB} \cdot \overset{⟶}{AC})}^{2}}$ ･･････（2）

となる．この式は，頂点 $A$ ， $B$ ， $C$ の座標が与えられているときに便利である．

■導出方法

$Δ ABC$ のへ底辺を $AB$ ，高さを $CD$ とすると， $Δ ABC$ の面積 $S$ は

$S = \frac{1}{2} AB \cdot CD$ ･･････（3）

である．また，三角比の定義より

$CD = AC \sin θ$ ･･････（4）

である．

(3)に(4)を代入すると

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot sin θ$

となり，(1)が得られる．

また

$AB = | \overset{⟶}{AB} |$ ， $AC = | \overset{⟶}{AC} |$ 　･･････（5）

内積の定義より

$cos θ = \frac{\overset{⟶}{AB} \cdot \overset{⟶}{AC}}{| \overset{⟶}{AB} | \cdot | \overset{⟶}{AC} |}$ 　･･････（6）

$\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$ より

$sin θ = \sqrt{1 - {cos}^{2} θ}$ 　･･････（7）

である．

(1)に(5)を代入すると

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \sin θ$ 　･･････（8）

(8)になり，さらに，(8)に(7)を代入すると

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \sqrt{1 - \cos^{2} θ}$ 　･･････（9）

(9)になり，さらに，(9)に(6)を代入すると

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \sqrt{1 - {(\frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|})}^{2}}$

$= \frac{1}{2} |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \sqrt{\frac{{(|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|)}^{2} - {(\vec{AB} \cdot \vec{AC})}^{2}}{{(|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|)}^{2}}}$

$= \frac{1}{2} |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \frac{\sqrt{{(|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|)}^{2} - {(\vec{AB} \cdot \vec{AC})}^{2}}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{{(|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|)}^{2} - {(\vec{AB} \cdot \vec{AC})}^{2}}$

となり(2)が得られる．

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最終更新日： 2024年11月15日