ベクトル

(*) 三角形 $\text{ABC}$ の頂点 $\text{A}$ ， $\text{B}$ ， $\text{C}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ とする． この三角形 $\text{ABC}$ の重心 $\text{G}$ の位置を ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ を用いて表せ．  ⇒ 解答

(*) 三角形 $\text{ABC}$ の各頂点 $\text{A}$ ， $\text{B}$ ， $\text{C}$ と各対辺の中点を結ぶ3つの線分(中線)は1点で交わることを示せ．  ⇒ 解答

(*) 三角形 $\text{ABC}$ の辺 $\text{BC}$ の中点を $\text{M}$ とすると

${\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{AC}}^{\text{2}}=2\left({\text{AM}}^{\text{2}}+{\text{BM}}^{\text{2}}\right)$

が成り立つ(中線定理)ことを，ベクトルを用いて証明せよ．  ⇒ 解答

(*)  ${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}\left(3,1,0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(2,0,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(0,1,1\right)}$ がある．以下の問に答えよ．

[1] ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．[2] ${\displaystyle \angle \text{BAC}=\theta }$ とする． ${\displaystyle \cos \theta }$ の値を求めよ．

[3] ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ に平行で大きさが ${\displaystyle 1}$ のベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を求めよ．

[4] ${\displaystyle 2}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．

[5] ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

[6] ${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ ， ${\displaystyle \text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．

[7] ${\displaystyle △\text{ABC}}$ の面積を求めよ．

⇒ 解答

(*) 位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=3}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．  ⇒ 解答

(*) 位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=4}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,-1\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．  ⇒ 解答

(*) 位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}\right|=4}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,1\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．  ⇒ 解答

(*) 点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-2,1\right)}$ ，点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(4,3\right)}$ ，点 $\text{P}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ とする．ただし， $x$ ， $y$ は変数である．ベクトル方程式

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}\cdot \overrightarrow{\text{BP}}=0}$

を満たす点 $\text{P}$ が描く図形を答へよ． ⇒ 解答

(*) 点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-1,-1,1\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-1,3,-1\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(1,3,-2\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(3,3,3\right)}$ を頂点とする四面体の体積を求めよ． ⇒ 解答

(*) 座標平面において，点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-4,2\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-2,-2\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(4,-1\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(5,6\right)}$ を頂点とする四角形の重心の座標を求めよ． ⇒ 解答

(*) 座標平面において，点 $\text{Q}$ と点 $\text{R}$ があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(4,3\right)}$ とする．ベクトル方程式が， ${\displaystyle \overrightarrow{p}=2s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ，ただし， ${\displaystyle s+t=1}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とすると点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ はどのような曲線(直線を含む)上にあるか答えよ． ⇒ 解答

(*) 座標平面において，点 $\text{Q}$ と点 $\text{R}$ があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(-1,4\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(2,-1\right)}$ とする．以下に示す条件を満たす点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ の範囲を求めよ．ただし， ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とする．

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle s+t=\frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle s\geqq 0}$ ， ${\displaystyle t\geqq 0}$

 ⇒ 解答

(*) 座標平面において，点 $\text{Q}$ と点 $\text{R}$ があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(1,4\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(3,1\right)}$ とする．以下に示す条件を満たす点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ の範囲を求めよ．ただし，${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とする．

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+2t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle s+t\leqq \frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle s\geqq 0}$ ， ${\displaystyle t\geqq 0}$

 ⇒ 解答