平面に関連した問題

■問題

${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}\left(3,1,0\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(2,0,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(0,1,1\right)}$ がある．以下の問に答えよ．

(1) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(2) ${\displaystyle \angle \text{BAC}=\theta }$ とする． ${\displaystyle \cos \theta }$ の値を求めよ．

(3) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ に平行で大きさが ${\displaystyle 1}$ のベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を求めよ．

(4) ${\displaystyle 2}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．

(5) ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求めよ．

(6) ${\displaystyle 3}$ 点 ${\displaystyle \text{A}}$ ， ${\displaystyle \text{B}}$ ， ${\displaystyle \text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．

(7) ${\displaystyle △\text{ABC}}$ の面積を求めよ．

■解説動画

(1)，(2)の解説

(3)の解説

(4)の解説

(5)の解説

(6)の解説

(7)の解説

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■答

(1)

原点を $\text{O}$ とする．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OB}}}$ ${\displaystyle =-\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}}$ ${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(2,0,1\right)-\left(3,1,0\right)}$ ${\displaystyle =\left(-1,-1,1\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OC}}}$ ${\displaystyle =-\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OC}}}$ ${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OC}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(0,1,1\right)-\left(3,1,0\right)}$ ${\displaystyle =\left(-3,0,1\right)}$

(2)

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\overrightarrow{\text{AB}}·\overrightarrow{\text{AC}}}{\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|}}$   (内積を参照)

${\displaystyle =\frac{3+1}{\sqrt{3}·\sqrt{10}}=\frac{4}{\sqrt{30}}}$

${\displaystyle =\frac{4\sqrt{30}}{30}}$

${\displaystyle =\frac{2\sqrt{30}}{15}}$

(3)

ベクトルの平行と単位ベクトルを参考にする．

${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}}$

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\pm \frac{\overrightarrow{\text{AB}}}{\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|}}$ ${\displaystyle =\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-1,-1,1\right)}$ ${\displaystyle =\pm \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}$ ${\displaystyle =\pm \left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}$

(4)

空間における直線の方程式を参照する．

点 $\text{A}$ を通り，方向ベクトルが ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ である直線の方程式は

あるいは，点 $\text{B}$ を通り，方向ベクトルが ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ である直線の方程式は

(i)の各辺に $1$ を加えると(ii)になる．同じ直線でもいろいろな方程式が成り立つ．

(5)

外積の計算の仕方を参照する．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\left(-1,-1,1\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\left(-3,0,1\right)}$

行列式を用いた外積の計算を以下に示す．

(6)

平面の方程式を参照する．

法線ベクトルは，外積の定義より ${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ である．

$•$ 点 $\text{A}$ を通り，法線ベクトルが $\left(-1,-2,-3\right)$ の場合の計算

${\displaystyle -1\left(x-3\right)-2\left(y-1\right)-3z}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle -x+3-2y+2-3z}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle -x-2y-3z+5}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x+2y+3z-5}$ ${\displaystyle =0}$

$•$ 点 $\text{B}$ を通り，法線ベクトルが $\left(-1,-2,-3\right)$ の場合の計算

${\displaystyle -1\left(x-2\right)-2y-3\left(z-1\right)}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle -x+2-2y-3z+3}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle -x-2y-3z+5}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x+2y+3z-5}$ ${\displaystyle =0}$

(7)

外積の定義を参照すると， ${\displaystyle △\text{ABC}}$ の面積を $S$ とすると

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}$

である．よって

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{1+4+9}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{14}}{2}}$

また，角度 $\theta$ を使うと

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|\left(\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|\sin \theta \right)}$

である．

${\displaystyle \sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-{\left(\frac{2\sqrt{30}}{15}\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{1-\frac{4\cdot 30}{{15}^2}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{1-\frac{4\cdot 2}{15}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{7}{15}}}$

${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}}$

${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+0^2+1^2}=\sqrt{10}}$

よって

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot \sqrt{10}\cdot \sqrt{\frac{7}{15}}=\frac{\sqrt{14}}{2}}$

ヘロンの公式

${\displaystyle S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$

を使うと

${\displaystyle a=\left|\overrightarrow{\text{BC}}\right|}$ ${\displaystyle =\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2+0^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{5}}$

（ ${\displaystyle \overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{BO}}+\overrightarrow{\text{OC}}}$ ${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OC}}-\overrightarrow{\text{OB}}}$ ${\displaystyle =\left(0,1,1\right)-\left(2,0,1\right)}$ ${\displaystyle =\left(-2,1,0\right)}$ ）

${\displaystyle b=\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|=\sqrt{10}}$

${\displaystyle c=\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|=\sqrt{3}}$

${\displaystyle s=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}+\sqrt{10}+\sqrt{3}\right)}$

${\displaystyle s-a=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}+\sqrt{10}+\sqrt{3}\right)-\sqrt{5}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(-\sqrt{5}+\sqrt{10}+\sqrt{3}\right)}$

${\displaystyle s-b=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}+\sqrt{10}+\sqrt{3}\right)-\sqrt{10}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{10}+\sqrt{3}\right)}$

${\displaystyle s-c=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}+\sqrt{10}+\sqrt{3}\right)-\sqrt{3}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}+\sqrt{10}-\sqrt{3}\right)}$

${\displaystyle s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(4+\sqrt{30}\right)\cdot \frac{1}{2}\left(-4+\sqrt{30}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(-16+30\right)}$ ${\displaystyle =\frac{7}{2}}$

よって

${\displaystyle S=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}}$

となる．

　

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最終更新日： 2026年2月7日