平面の方程式
KIT数学ナビゲーション
 

平面の方程式 

点P ( x 0 , y 0 , z 0 ) を通り,法線ベクトル n =( a,b,c ) 平面の方程式は,

a( x x 0 )+b( y y 0 )+c( z z 0 )=0  

と表わされる.また,平面の方程式は一般に,

ax+by+cz+d=0    (一般形

と表される.このとき,平面の法線ベクトルは n =( a,b,c ) となる.

■平面の方程式の導出

平面は,空間中の点と平面に垂直な法線ベクトルが決まれば,一意的に決まる.平面上の点Pの座標を ( x 0 , y 0 , z 0 ) ,法線ベクトルを n =( a,b,c ) とし,平面上の任意の点Qの座標を ( x,y,z ) とすると,ベクトル PQ は平面に含まれる. n は平面の法線ベクトルなので, n PQ のなす角は90°である.よって内積がゼロとなるので,

n · PQ =0    

となる.この関係から,

( a,b,c )·( x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )=0 a( x x 0 )+b( y y 0 )+c( z z 0 )=0

となり,平面の方程式が求まる.

■平面の方程式の求め方のいろいろ】

●空間中の3点で決まる平面の方程式

空間中の3点をA ( a x , a y , a z ) ,B ( b x , b y , b z ) ,C ( c x , c y , c z ) を含む平面の方程式の求め方.

●方法1

3点を含む平面上の点をP ( x,y,z ) とすると, AB AC を用いて AP を表すと,

m AB +n AC = AP

となる. m n媒介変数.これを座標で表すと,

  • m { ( b x , b y , b z ) ( a x , a y , a z ) } +

  • n { ( c x , c y , c z ) ( a x , a y , a z ) }

  • = { ( x , y , z ) ( a x , a y , a z ) }

となり,整理すると,

  • ( m ( b x a x ) + n ( c x a x ) ,

  • m ( b y a y ) + n ( c y a y ) ,

  • m ( b z a z ) + n ( c z a z ) )

  • = ( x a x , y a y , z a z )

となる.各座標を比べると,

{ m ( b x a x ) + n ( c x a x ) = x a x m ( b y a y ) + n ( c y a y ) = y a y m ( b z a z ) + n ( c z a z ) = z a z

となる.この関係式から, m n を消去すると平面の方程式が得られる.

●方法2

平面の方程式の一般形の ax+by+cz+d=0 に点A,点B,点Cの座標を代入して得られる連立方程式

{ a· a x +b· a y +c· a z +d=0 a· b x +b· b y +c· b z +d=0 a· c x +b· c y +c· c z +d=0

を解いても3点を含む平面の方程式を求めることができる.

●方法3

平面の法線ベクトル n

n =( l,m,n )

とする.

AB n =0

AC n =0  

より, n を求める.

A( a x , a y , a z ) を通り,法線ベクトルが n =( l,m,n ) より,平面の方程式は,

l( x a x )+m( y a y )+n( z a z )=0

となる.

●方法4

平面の法線ベクトル n は外積を用いると,

n = AB × AC

となる.

法線ベクトル n が求まり,平面は点 A を通ることより,平面の方程式を求めることができる.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>関数>>平面の方程式

最終更新日: 2016年3月2日

[ページトップ] 金沢工業大学