外積の計算の仕方

$\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ ， $\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ のとき

$\vec{a} \times \vec{b}$ $= (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})$

となる．

この計算式はとても複雑なので覚えることは困難である．よって，以下のようにして計算する．

$\vec{a}$ ， $\vec{b}$ の成分を以下のように書く．

$\begin{matrix} x & y & z \\ \vec{a} & a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ \vec{b} & b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix}$
さらに，右側に $x$ 成分， $y$ 成分を書き加える．
$\begin{matrix} x & y & z & x & y \\ \vec{a} & a_{x} & a_{y} & a_{z} & a_{x} & a_{y} \\ \vec{b} & b_{x} & b_{y} & b_{z} & b_{x} & b_{y} \end{matrix}$
$\vec{a} \times \vec{b}$ の $x$ 成分 $a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}$ は，四角の枠で囲まれた成分のたすきがけの積の差になっている．
$\vec{a} \times \vec{b}$ の $y$ 成分 $a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}$ は，四角の枠で囲まれた成分のたすきがけの積の差になっている．
$\vec{a} \times \vec{b}$ の $z$ 成分 $a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}$ は，四角の枠で囲まれた成分のたすきがけの積の差になっている．

以上の内容を図でまとめると以下のようになる．

このような計算を行列式を使って表すと

$\vec{a} × \vec{b} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} |$

となる．ここを参照．

最終更新日 2025年4月27日