ベクトルを用いて重心を求める問題

■問題

三角形 $\text{ABC}$ の頂点 $\text{A}$ ， $\text{B}$ ， $\text{C}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ とする． この三角形 $\text{ABC}$ の重心 $\text{G}$ の位置を ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ を用いて表せ．

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$

■ヒント

三角形の各頂点と重心の位置関係を確認する．

■解説

重心 $\text{G}$ は線分 $\text{A}{\text{A}}^{\prime }$ を ${\displaystyle 2:1}$ に内分する点である.よって

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OG}}=\overrightarrow{\text{OA}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\text{A}{\text{A}}^{\prime }}}$

${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OA}}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{O}{\text{A}}^{\prime }}\right)}$

${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OA}}+\frac{2}{3}\left(-\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{O}{\text{A}}^{\prime }}\right)}$

${\displaystyle =\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\left\{-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{c}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$

　

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最終更新日： 2025年7月16日